Chapitre I. Limites et continuité
I.4.16.
(a) Si x 0 ∈ A est un point isolé de A, la proposition est manifestement correcte. Si x 0 est un point d’accumulation de A, la proposition se déduit
alors du fait que
lim
x→x 0
af (x) =
⎧
⎨
⎩
a lim
x→x 0
f (x) si a > 0,
a lim
x→x 0
f (x) si a < 0.
(b) Soit x 0 un point d’accumulation de A et on suppose, par exemple, que f
et g sont semi-continues inférieurement en x 0 . D’après I.4.8, on a alors
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x) f (x 0 ) + g(x 0 ).
I.4.17. On suppose, par exemple, que les fonctions f n sont semi-continues
inférieurement en x 0 . Puisque sup
n∈N ∗
f n f n pour n ∈ N ∗ , on a
lim
x→x 0
sup
n∈N ∗
f n (x) lim
x→x 0
f n (x) f n (x 0 ) pour n ∈ N
∗ .
En conséquence,
lim
x→x 0
sup
n∈N ∗
f n (x) sup
n∈N ∗
f n (x 0 ).
I.4.18. Il suffit d’observer que si {f n } est une suite croissante (resp. décroissante), alors lim
n→+∞
f n = sup
n∈N ∗
f n (x) (resp. lim
n→+∞
f n = inf
n∈N ∗
f n (x)) (voir, par
exemple, II.1.1 (vol. I)) et d’utiliser le résultat du problème précédent.
I.4.19. D’après I.4.1, on a
f 1 (x) = max
f (x), lim
z→x
f (z)
= inf
δ>0
sup {f (z) : z ∈ A, |z − x| < δ}
= lim
δ→0 +
sup {f (z) : z ∈ A, |z − x| < δ} .
De même,
f 2 (x) = lim
δ→0 +
inf {f (z) : z ∈ A, |z − x| < δ} .
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