Solutions
Donc,
f 1 (x) − f 2 (x) = lim
δ→0 +
sup {f (z) : z ∈ A, |z − x| < δ}
− lim
δ→0 +
inf {f (z) : z ∈ A, |z − x| < δ}
= lim
δ→0 +
sup {f (z) − f (u) : z, u ∈ A, |z − x| < δ, |u − x| < δ}
= lim
δ→0 +
sup {|f (z) − f (u)| : z, u ∈ A, |z − x| < δ, |u − x| < δ}
= o f (x).
I.4.20. Soit x un point d’accumulation de A et {x n } une suite de points de A
convergente vers x. On pose δ n = |x n − x| +
1
n . Alors, |z − x n | < δ n implique
|z − x| < 2δ n . En conséquence (voir la solution du problème précédent),
f 2 (x k ) = lim
n→+∞
inf {f (z) : z ∈ A, |z − x k | < δ n }
inf {f (z) : z ∈ A, |z − x k | < δ n }
inf {f (z) : z ∈ A, |z − x| < 2δ n } .
Un passage à la limite lorsque k tend vers +∞ donne lim
k→+∞
f 2 (x k ) f 2 (x).
Il s’ensuit que lim
z→x
f 2 (z) f 2 (x) et la semi-continuité inférieure de la fonction
f 2 est donc prouvée. On peut montrer de la même façon que f 1 est semicontinue supérieurement. Maintenant, d’après le résultat du problème précédent, o f (x) = f 1 (x) − f 2 (x), ce qui, avec I.4.16, prouve la semi-continuité
supérieure de o f .
I.4.21. On prouve la proposition pour les fonctions semi-continues inférieurement. On suppose d’abord que la condition donnée est vérifiée. Pour a < f(x 0 ),
il existe alors δ > 0 tel que f (x) > a pour |x − x 0 | < δ. Si {x n } est une suite
de points de A convergente vers x 0 , alors |x n − x 0 | < δ pour n suffisamment
grand. Ainsi, f (x n ) > a, ce qui implique lim
n→+∞
f (x n ) a. On obtient alors
lim
x→x 0
f (x) f (x 0 ), a pouvant être choisi arbitrairement. On suppose maintenant que f est semi-continue inférieurement en x 0 et que, contrairement à
la proposition, la condition n’est pas satisfaite. Il existe alors a < f(x 0 ) tel
que pour tout n ∈ N ∗ , il existe x n ∈ A pour lequel |x n − x 0 | < δ n =
1
n et
f (x n ) a. La suite {x n } converge donc vers x 0 et lim
n→+∞
f (x n ) a < f(x 0 ),
contradiction.
89