Chapitre I. Limites et continuité
I.4.22. On suppose que l’ensemble {x ∈ A : f (x) > a} est ouvert pour tout
a ∈ R. Soit x 0 un élément de A, on prend a < f(x 0 ). Il existe alors δ > 0 tel
que ]x 0 − δ , x 0 + δ[ ⊂ {x ∈ A : f (x) > a}. Le résultat du problème précédent
implique alors que f est semi-continue inférieurement.
On suppose maintenant que f est semi-continue inférieurement sur A et
on montre que l’ensemble {x ∈ A : f (x) a} est fermé dans A. Soit {x n } une
suite de points de cet ensemble convergente vers x. On a alors f (x n ) a et,
en conséquence, f (x) lim
n→+∞
f (x n ) a, ce qui implique que x est aussi un
élément de {x ∈ A : f (x) a}. On a donc prouvé que cet ensemble est fermé
ou, de façon équivalente, que son complémentaire est ouvert dans A.
I.4.23. On suppose que f est semi-continue inférieurement sur R et on note
B =
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
. Notre but est de prouver que B est fermé
dans R 2 . Soit {(x n , y n )} une suite de points de B convergente vers (x 0 , y 0 ). On
a
y 0 = lim
n→+∞
y n lim
n→+∞
f (x n ) lim
x→x 0
f (x) f (x 0 ).
Donc, (x 0 , y 0 ) ∈ B.
On suppose maintenant que B est fermé et f n’est pas semi-continue inférieurement en x 0 ∈ R. L’ensemble B c =
(x, y) ∈ R 2 : y < f(x)
est ouvert
dans R 2 et il existe une suite {x n }, x n = x 0 , convergente vers x 0 telle que
y = lim
n→+∞
f (x n ) < f(x 0 ). On prend g tel que y < g < f(x 0 ). Alors, (x 0 , g)
appartient à B c . Il existe donc une boule centrée en (x 0 , g) contenue dans B c
ou, de façon équivalente, g < f(x n ). Ainsi, g y, contradiction.
On rappelle que f est semi-continue supérieurement sur R si et seulement
si −f est semi-continue inférieurement sur R. Donc, f est semi-continue supérieurement sur R si et seulement si l’ensemble
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
est
fermé dans R 2 .
I.4.24. [21]. On prouve d’abord que f est semi-continue inférieurement si
et seulement si la fonction g(x) =
2
π Arctan f (x) l’est aussi. Pour cela,
on utilise la caractérisation donnée en I.4.20. On suppose que f est semicontinue inférieurement. Pour montrer que g l’est aussi, il suffit de montrer
que l’ensemble B =
x ∈ A :
2
π Arctan f (x) > a
est ouvert dans A pour
tout réel a. Clairement, si a −1, alors B = A et si a 1, B = ∅.
Si |a| < 1, alors B =
x ∈ A : f (x) > tan
π
2 a
qui est ouvert par hypothèse. On suppose maintenant que g est semi-continue inférieurement. L’ensemble
x ∈ A : g(x) >
2
π Arctan a
est ouvert pour tout réel a et l’ensemble
{x ∈ A : f (x) > a} est donc ouvert.
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I.4.22. On suppose que l’ensemble {x ∈ A : f (x) > a} est ouvert pour tout
a ∈ R. Soit x 0 un élément de A, on prend a < f(x 0 ). Il existe alors δ > 0 tel
que ]x 0 − δ , x 0 + δ[ ⊂ {x ∈ A : f (x) > a}. Le résultat du problème précédent
implique alors que f est semi-continue inférieurement.
On suppose maintenant que f est semi-continue inférieurement sur A et
on montre que l’ensemble {x ∈ A : f (x) a} est fermé dans A. Soit {x n } une
suite de points de cet ensemble convergente vers x. On a alors f (x n ) a et,
en conséquence, f (x) lim
n→+∞
f (x n ) a, ce qui implique que x est aussi un
élément de {x ∈ A : f (x) a}. On a donc prouvé que cet ensemble est fermé
ou, de façon équivalente, que son complémentaire est ouvert dans A.
I.4.23. On suppose que f est semi-continue inférieurement sur R et on note
B =
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
. Notre but est de prouver que B est fermé
dans R 2 . Soit {(x n , y n )} une suite de points de B convergente vers (x 0 , y 0 ). On
a
y 0 = lim
n→+∞
y n lim
n→+∞
f (x n ) lim
x→x 0
f (x) f (x 0 ).
Donc, (x 0 , y 0 ) ∈ B.
On suppose maintenant que B est fermé et f n’est pas semi-continue inférieurement en x 0 ∈ R. L’ensemble B c =
(x, y) ∈ R 2 : y < f(x)
est ouvert
dans R 2 et il existe une suite {x n }, x n = x 0 , convergente vers x 0 telle que
y = lim
n→+∞
f (x n ) < f(x 0 ). On prend g tel que y < g < f(x 0 ). Alors, (x 0 , g)
appartient à B c . Il existe donc une boule centrée en (x 0 , g) contenue dans B c
ou, de façon équivalente, g < f(x n ). Ainsi, g y, contradiction.
On rappelle que f est semi-continue supérieurement sur R si et seulement
si −f est semi-continue inférieurement sur R. Donc, f est semi-continue supérieurement sur R si et seulement si l’ensemble
(x, y) ∈ R 2 : y f (x)
est
fermé dans R 2 .
I.4.24. [21]. On prouve d’abord que f est semi-continue inférieurement si
et seulement si la fonction g(x) =
2
π Arctan f (x) l’est aussi. Pour cela,
on utilise la caractérisation donnée en I.4.20. On suppose que f est semicontinue inférieurement. Pour montrer que g l’est aussi, il suffit de montrer
que l’ensemble B =
x ∈ A :
2
π Arctan f (x) > a
est ouvert dans A pour
tout réel a. Clairement, si a −1, alors B = A et si a 1, B = ∅.
Si |a| < 1, alors B =
x ∈ A : f (x) > tan
π
2 a
qui est ouvert par hypothèse. On suppose maintenant que g est semi-continue inférieurement. L’ensemble
x ∈ A : g(x) >
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π Arctan a
est ouvert pour tout réel a et l’ensemble
{x ∈ A : f (x) > a} est donc ouvert.
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