Solutions
Pour n ∈ N ∗ et a ∈ A, on définit ϕ a,n par
ϕ a,n (x) = g(a) + n |x − a| (x ∈ R)
et on pose
g n (x) = inf
a∈A
ϕ a,n (x).
Clairement,
g n (x) g n+1 (x) pour tout x ∈ R
et
g n (x) ϕ x,n (x) = g(x) pour tout x ∈ A.
La suite {g n (x)} est donc convergente pour tout x ∈ A. On montre maintenant
que les fonctions g n sont continues sur R. En effet, pour x, x ∈ R,
ϕ a,n (x) − ϕ a,n (x
)
n
x − x
.
Il s’ensuit que
ϕ a,n (x
) − n
x − x
ϕ a,n (x) ϕ a,n (x
) + n
x − x
.
En conséquence, on a
g n (x
) − n
x − x
g n (x) g n (x
) + n
x − x
et la continuité de g n est donc prouvée. Il découle de ce qui précède que
lim
n→+∞
g n (x) g(x) pour x ∈ A. Notre but est de montrer que
lim
n→+∞
g n (x) g(x).
Soit x ∈ A et α < g(x). Puisque g est semi-continue inférieurement en x, il
existe δ > 0 tel que g(a) > α si |x − a| < δ. Donc,
ϕ a,n (x) g(a) > α pour |x − a| < δ.
(1)
D’autre part,
ϕ a,n (x) > −1 + nδ pour |x − a| δ,
ce qui, combiné à (1), donne
g n (x) = inf
a∈A
ϕ a,n (x) min {α, −1 + nδ} .
Donc, g n (x) > α pour n suffisamment grand et lim
n→+∞
g n (x) α. Finalement,
par passage à la limite lorsque α tend vers g(x), on obtient lim
n→+∞
g n (x) g(x).
91