Chapitre I. Limites et continuité
I.4.25. Le théorème de Baire (voir le problème précédent) implique qu’il
existe une suite décroissante {f n } et une suite croissante {g n } de fonctions
continues convergentes sur A respectivement vers f et g. On pose
ϕ 1 (x) = f 1 (x),
ψ 1 (x) = min {ϕ 1 (x), g 1 (x)} ,
. . .
. . .
ϕ n (x) = max {ψ n−1 (x), f n (x)} ,
ψ n (x) = min {ϕ n (x), g n (x)} .
La suite {ϕ n } est alors décroissante car les inégalités ψ n ϕ n et f n ϕ n
impliquent
ϕ n+1 = max {ψ n , f n+1 } max {ψ n , f n } max {ϕ n , f n } = ϕ n .
On peut montrer de même que {ψ n } est croissante. On observe alors
que les suites de fonctions continues {ϕ n } et {ψ n } convergent toutes les
deux, vers des limites que l’on note respectivement ϕ et ψ. On peut montrer que ϕ(x) = max {ψ(x), f(x)} et ψ(x) = min {ϕ(x), g(x)} (voir, par
exemple, II.4.28 (vol. I)). Donc, si ϕ(x) = ψ(x) pour un x, alors ϕ(x) = f (x)
et, puisque f (x) g(x), on a aussi ψ(x) = f (x), contradiction. Les suites
{ϕ n } et {ψ n } ont donc la même limite (que l’on note h) et qui vérifie
f (x) h(x) g(x). D’après I.4.18, h est semi-continue inférieurement et
supérieurement donc continue.
I.5. Continuité uniforme
I.5.1.
(a) La fonction peut être prolongée par continuité sur [0 , 1]. Donc, f est
uniformément continue sur ]0 , 1[.
(b) On remarque que
f
1
2nπ
− f
1
2nπ +
π
2
= 1
pour n ∈ N ∗ , bien que
1
2nπ −
1
2nπ+
π
2
puisse être arbitrairement petit.
La fonction n’est donc pas uniformément continue sur ]0 , 1[.
(c) Puisqu’il existe un prolongement continu de f sur [0 , 1], la fonction f
est uniformément continue sur ]0 , 1[.
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