Solutions
(d) On a
f
1
ln n
− f
1
ln(n + 1)
= |n − (n + 1)| = 1
et
1
ln n −
1
ln(n+1)
− −−−− →
n→+∞
0. Donc, f n’est pas uniformément continue
sur ]0 , 1[.
(e) Puisque lim
x→0 +
e
−
1
x = 0, la fonction peut être prolongée par continuité sur
[0 , 1] et f est donc uniformément continue sur ]0 , 1[.
(f) La fonction n’est pas uniformément continue sur ]0 , 1[ car
f
1
2nπ
− f
1
2nπ + π
= e
1
2nπ + e
1
2nπ+π > 2, n ∈ N
∗ .
(g) Pour voir que la fonction n’est pas uniformément continue sur ]0 , 1[, on
remarque que
f
1
e n
− f
1
e n+1
= 1.
(h) On observe que
f
1
2n
− f
1
2n + 1
= cos
1
2n
+ cos
1
2n + 1
− −−−− →
n→+∞
2.
La fonction n’est donc pas uniformément continue sur ]0 , 1[.
(i) Comme précédemment, on montre que la fonction n’est pas uniformément continue sur ]0 , 1[.
I.5.2.
(a) On montre que f est uniformément continue sur R + . En effet, d’après
l’inégalité
|
√ x 1 −
√ x 2 |
√
x 1 − x 2 pour x 1 , x 2 ∈ R + ,
on a
|x 1 − x 2 | < δ = ε
2 implique |
√
x 1 −
√ x 2 | < ε.
(b) On note que
f (2nπ) − f
2nπ +
1
n
− −−−− →
n→+∞
2π.
Donc, f n’est pas uniformément continue sur R + .
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