Chapitre I. Limites et continuité
(c) Puisque
sin
2 x 1 − sin
2 x 2
= |sin x 1 − sin x 2 | · |sin x 1 + sin x 2 | 2 |x 1 − x 2 | ,
la fonction est uniformément continue sur R + .
(d) La fonction n’est pas uniformément continue sur R + car
f
√
2nπ
− f
2nπ +
π
2
= 1
bien que
√
2nπ −
2nπ +
π
2
− −−−− →
n→+∞
0.
(e) La fonction n’est pas uniformément continue sur R + . En effet, la continuité du logarithme implique
|ln n − ln(n + 1)| = ln
1 +
1
n
− −−−− →
n→+∞
0.
De plus,
|f (ln n) − f (ln(n + 1)| = 1.
(f) On peut montrer, comme en (d), que la fonction n’est pas uniformément
continue sur R + .
(g) Puisque
|sin(sin x 1 ) − sin(sin x 2 )| 2
sin
sin x 1 − sin x 2
2
|x 1 − x 2 | ,
f est uniformément continue sur R + .
(h) On note que
f
2nπ +
1
2nπ
− f (2nπ)
=
sin
2nπ sin
1
2nπ
+
1
2nπ
sin
1
2nπ
− −−−− →
n→+∞
sin 1.
La fonction n’est donc pas uniformément continue sur R + .
(i) On observe que
|sin
√ x 1 − sin
√ x 2 | =
2 sin
√
x 1 −
√ x 2
2
cos
√ x 1 +
√ x 2
2
|
√ x 1 −
√ x 2 | .
En raisonnant maintenant comme en (a), on montre l’uniforme continuité
de f .
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