Solutions
I.5.3. On montre que lim
x→a +
f (x) existe. Par continuité uniforme, étant donné
ε > 0, il existe δ > 0 tel que |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε dès que |x 1 − x 2 | < δ. Clairement, si a < x 1 < a + δ et a < x 2 < a + δ, alors |x 1 − x 2 | < δ. Le théorème
de Cauchy (voir I.1.37) implique que la limite à droite de f en a existe. On
peut prouver de la même façon que la limite de f à gauche en b existe aussi.
I.5.4.
(a) La définition de la continuité uniforme implique directement que la
somme de deux fonctions uniformément continues est uniformément
continue.
(b) Si f et g sont uniformément continues sur un intervalle ]a , b[ borné,
alors d’après le résultat du problème précédent, les fonctions peuvent
être prolongées par continuité à [a , b]. Donc f et g sont bornées sur
]a , b[. L’uniforme continuité de f g sur ]a , b[ se déduit alors de l’inégalité
|f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )| |f (x 1 )| |g(x 1 ) − g(x 2 )|
+ |g(x 2 )| |f (x 1 ) − f (x 2 )| .
D’autre part, les fonctions f (x) = g(x) = x sont uniformément continues
sur [a , +∞[ mais f (x)g(x) = x 2 n’est pas uniformément continue sur cet
intervalle.
(c) D’après (b), la fonction x → f (x) sin x est uniformément continue sur
]a , b[. Elle ne l’est pas nécessairement sur [a , +∞[ comme le montre
l’exemple en I.5.2(b).
I.5.5.
(a) Étant donné ε > 0, il existe δ 1 > 0 et δ 2 > 0 tels que |f (x 1 ) − f (b)| <
ε
2
si 0 b − x 1 <
δ 1
2 et |f (x 2 ) − f (b)| <
ε
2 si 0 x 2 − b <
δ 2
2 . En posant
δ = min {δ 1 , δ 2 }, on obtient
|f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε si |x 1 − x 2 | < δ.
(1)
Pour x 1 , x 2 ∈ ]a , b] ou x 1 , x 2 ∈ [b , c[, (1) est clairement vérifiée pour un
certain δ > 0.
(b) Non. On pose A = N ∗ et B =
n +
1
n : n ∈ N ∗
et on considère la fonction f définie par
f (x) =
1 si x ∈ A,
2 si x ∈ B.
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I.5.3. On montre que lim
x→a +
f (x) existe. Par continuité uniforme, étant donné
ε > 0, il existe δ > 0 tel que |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε dès que |x 1 − x 2 | < δ. Clairement, si a < x 1 < a + δ et a < x 2 < a + δ, alors |x 1 − x 2 | < δ. Le théorème
de Cauchy (voir I.1.37) implique que la limite à droite de f en a existe. On
peut prouver de la même façon que la limite de f à gauche en b existe aussi.
I.5.4.
(a) La définition de la continuité uniforme implique directement que la
somme de deux fonctions uniformément continues est uniformément
continue.
(b) Si f et g sont uniformément continues sur un intervalle ]a , b[ borné,
alors d’après le résultat du problème précédent, les fonctions peuvent
être prolongées par continuité à [a , b]. Donc f et g sont bornées sur
]a , b[. L’uniforme continuité de f g sur ]a , b[ se déduit alors de l’inégalité
|f (x 1 )g(x 1 ) − f (x 2 )g(x 2 )| |f (x 1 )| |g(x 1 ) − g(x 2 )|
+ |g(x 2 )| |f (x 1 ) − f (x 2 )| .
D’autre part, les fonctions f (x) = g(x) = x sont uniformément continues
sur [a , +∞[ mais f (x)g(x) = x 2 n’est pas uniformément continue sur cet
intervalle.
(c) D’après (b), la fonction x → f (x) sin x est uniformément continue sur
]a , b[. Elle ne l’est pas nécessairement sur [a , +∞[ comme le montre
l’exemple en I.5.2(b).
I.5.5.
(a) Étant donné ε > 0, il existe δ 1 > 0 et δ 2 > 0 tels que |f (x 1 ) − f (b)| <
ε
2
si 0 b − x 1 <
δ 1
2 et |f (x 2 ) − f (b)| <
ε
2 si 0 x 2 − b <
δ 2
2 . En posant
δ = min {δ 1 , δ 2 }, on obtient
|f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε si |x 1 − x 2 | < δ.
(1)
Pour x 1 , x 2 ∈ ]a , b] ou x 1 , x 2 ∈ [b , c[, (1) est clairement vérifiée pour un
certain δ > 0.
(b) Non. On pose A = N ∗ et B =
n +
1
n : n ∈ N ∗
et on considère la fonction f définie par
f (x) =
1 si x ∈ A,
2 si x ∈ B.
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