Chapitre I. Limites et continuité
I.5.6. Si f est constante, elle est alors uniformément continue sur R. Si f
est une fonction périodique non constante, elle admet alors une période fondamentale T (voir I.2.23). Clairement, f est uniformément continue sur chaque
intervalle [kT , (k + 1)T ], k ∈ Z. Donc, comme dans la solution de I.5.5(a), on
peut montrer que f est uniformément continue sur R.
I.5.7.
(a) On pose lim
x→+∞
f (x) = L et lim
x→−∞
f (x) = l. Étant donné ε > 0, il
existe A > 0 tel que |f (x) − L| <
ε
2 pour x A et |f (x) − l| <
ε
2
pour x −A. Ceci implique |f (x 1 ) − f (x 2 )| < ε si x 1 , x 2 ∈ [A , +∞[
ou x 1 , x 2 ∈ ]−∞ , −A]. Clairement f est uniformément continue sur
[−A , A]. Finalement, comme dans la solution de I.5.5(a), on montre
que f est uniformément continue sur R.
(b) La démonstration se mène comme en (a).
I.5.8. Il suffit d’appliquer le résultat du problème précédent.
I.5.9. La limite lim
x→+∞
f (x) n’existe pas nécessairement. Pour le voir, considérez la fonction donnée en I.5.2(c). La limite lim
x→0 +
f (x) existe (voir I.5.3).
I.5.10. On suppose que I = ]a , b[ est un intervalle borné et, par exemple,
que f est croissante. Comme en I.1.35, on peut prouver que
lim
x→a +
f (x) = inf
x∈]a ,b[
f (x) et
lim
x→b −
f (x) = sup
x∈]a ,b[
f (x).
On peut alors prolonger la fonction f par continuité sur [a , b] et elle est donc
uniformément continue sur ]a , b[. Si l’intervalle I n’est pas borné, les limites
lim
x→+∞
f (x) et/ou lim
x→−∞
f (x) existent et sont finies. D’après I.5.7, f est donc
uniformément continue sur I.
I.5.11. Non. La fonction suivante est uniformément continue sur R + mais la
limite lim
x→+∞
f (x) n’existe pas :
f (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
pour x ∈ [0 , 1],
−x + 2
pour x ∈ [1 , 2],
. . .
x − n(n + 1)
pour x ∈
n(n + 1) , (n + 1) 2
,
−x + (n + 1)(n + 2) pour x ∈
(n + 1) 2 , (n + 1)(n + 2)
,
. . .
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