Solutions
Un passage à la limite lorsque δ tend vers 0 + et le résultat de I.4.2(a)
donnent (3). L’inégalité
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x)
(4)
se prouve de la même manière. De plus, le problème I.4.6 et (3) impliquent
lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
(f (x) + g(x) − g(x))
lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) + lim
x→x 0
(−g(x))
= lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) − lim
x→x 0
g(x).
On peut prouver de la même façon que
lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x) lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) .
Pour montrer que les inégalités peuvent être strictes, on considère les fonctions
définies par
f (x) =
sin
1
x
si x > 0,
0
si x 0,
g(x) =
0
si x 0,
sin
1
x
si x < 0.
Pour x 0 = 0, les inégalités considérées sont de la forme −2 < −1 < 0 < 1 < 2.
I.4.9. On remarque d’abord que
inf
x∈A
(f (x) · g(x)) inf
x∈A
f (x) · inf
x∈A
g(x),
(1)
sup
x∈A
(f (x) · g(x)) sup
x∈A
f (x) · sup
x∈A
g(x)
(2)
si f et g sont positives sur A. Le reste de la démonstration se mène comme
dans la solution du problème précédent. Pour voir que les inégalités données
peuvent être strictes, on considère les fonctions définies par
f (x) =
1
sin 2 1
x
+1
si x > 0,
2
si x 0,
g(x) =
3
si x 0,
1
sin 2 1
x
+1
si x < 0.
Pour x 0 = 0, les inégalités considérées sont de la forme
1
4 < 1 <
3
2 < 3 < 6.
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