Chapitre I. Limites et continuité
I.4.5. Soit {δ n } une suite décroissante de réels strictement positifs convergente vers 0. Il découle de I.4.2(a) que
l = lim
n→+∞
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ n } .
Pour l réel, ceci est équivalent aux deux conditions suivantes :
(1) Pour n ∈ N ∗ , il existe k n ∈ N ∗ tel que 0 < |x − x 0 | < δ k implique
f (x) > l −
1
n pour k > k n .
(2) Pour n ∈ N ∗ , il existe k n ∈ N ∗ et x kn ∈ A tels que 0 < |x kn − x 0 | < δ kn
et f (x kn ) < l +
1
n .
Il existe donc une suite x kn convergente vers x 0 telle que lim
n→+∞
f (x kn ) = l.
Si lim
x→x 0
f (x) = −∞, d’après I.4.4(a), pour tout n ∈ N et δ > 0, il existe
alors x n ∈ A tel que 0 < |x n − x 0 | < δ et f (x n ) < −n. Donc, lim
n→+∞
x n = x 0
et lim
n→+∞
f (x n ) = −∞.
Si lim
x→x 0
f (x) = +∞, l’existence de {x n } se déduit alors immédiatement de
la définition.
I.4.6. Le résultat se déduit immédiatement de I.1.2 (vol. I) et de I.4.1.
I.4.7. Il suffit d’appliquer I.1.4 (vol. I) et I.4.1.
I.4.8. On note que
inf
x∈A
(f (x) + g(x)) inf
x∈A
f (x) + inf
x∈A
g(x),
(1)
sup
x∈A
(f (x) + g(x)) sup
x∈A
f (x) + sup
x∈A
g(x).
(2)
En effet, pour x ∈ A,
f (x) + g(x) inf
x∈A
f (x) + inf
x∈A
g(x),
ce qui implique (1). L’inégalité (2) se démontre de la même façon.
On prouve d’abord que
lim
x→x 0
f (x) + lim
x→x 0
g(x) lim
x→x 0
(f (x) + g(x)) .
(3)
D’après (1), on a
inf {f (x)+g(x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ}
+inf {g(x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ}.
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