Solutions
qui signifie que lim
x→x 0
f (x) = lim
x→x 0
f (x) = +∞. Finalement, si a = −∞,
alors
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} = −∞
pour tout δ > 0. Il existe donc une suite {x ∗
n } convergente vers x 0 telle
que lim
n→+∞
f (x ∗
n ) = −∞, ce qui donne lim
x→x 0
f (x) = −∞.
(b) La démonstration se mène comme en (a).
I.4.2. Le résultat est une conséquence immédiate de I.1.35 et du problème
précédent.
I.4.3. Le résultat du problème précédent implique que, étant donné ε > 0, il
existe δ > 0 tel que
0 y 0 − inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} < ε.
Par définition de la borne inférieure, ceci est équivalent aux conditions (i)
et (ii).
D’après I.4.2(b), e
y = lim
x→x 0
f (x) si et seulement si, pour tout ε > 0, les
deux conditions suivantes sont vérifiées :
(1) Il existe δ > 0 tel que f (x) < e
y + ε pour tout x ∈ A se trouvant dans le
voisinage épointé 0 < |x − x 0 | < δ.
(2) Pour tout δ > 0, il existe x ∈ A se trouvant dans le voisinage épointé
0 < |x − x 0 | < δ et f (x ) > e
y − ε.
I.4.4.
(a) D’après I.4.2(a), lim
x→x 0
f (x) = −∞ si et seulement si
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} = −∞
pour tout δ > 0. Ceci signifie que pour tout δ > 0, l’ensemble
{f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ}
n’est pas minoré, ce qui donne le résultat cherché.
(b) La démonstration se mène comme en (a).
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