Chapitre I. Limites et continuité
I.4. Fonctions semi-continues
I.4.1.
(a) On pose sup
δ>0
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} = a. On suppose
d’abord que a est un réel et on montre que a = lim
x→x 0
f (x). Par définition de la borne supérieure, pour tout δ > 0, on a
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ} a
(i)
et, pour tout ε > 0, il existe δ ∗ tel que
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ
∗
} > a − ε.
(ii)
D’après (ii), on a
f (x) > a − ε si 0 < |x − x 0 | < δ
∗ .
(iii)
Soit {x n } une suite de points de A différents de x 0 . Si la suite converge
vers x 0 , alors 0 < |x n − x 0 | < δ ∗ à partir d’une certaine valeur de l’indice n. Donc, f (x n ) > a − ε. Si {f (x n )} converge vers y, on obtient
alors y a − ε, d’où lim
x→x 0
f (x) a. Pour prouver que l’on a aussi
lim
x→x 0
f (x) a, on utilise (i). La définition de la borne inférieure implique que, étant donné ε 1 > 0, il existe x ∗ ∈ A tel que 0 < |x ∗ − x 0 | < δ
et f (x ∗ ) < a + ε 1 . En prenant δ =
1
n , on obtient une suite {x ∗
n } telle que
0 < |x
∗
n − x 0 | <
1
n
et f (x
∗
n ) < a + ε 1 .
Combiné à (iii), ceci donne a − ε < f(x ∗
n ) < a + ε 1 . On peut supposer,
sans perte de généralité, que {f (x ∗
n )} converge. Sa limite est alors inférieure ou égale à a + ε 1 et, ε 1 > 0 pouvant être choisi arbitrairement, il
s’ensuit que
lim
x→x 0
f (x) a.
Si a = +∞, étant donné M > 0, il existe δ ∗ tel que
inf {f (x) : x ∈ A, 0 < |x − x 0 | < δ
∗
} > M.
Donc, si 0 < |x − x 0 | < δ ∗ , alors f (x) > M. D’où, si {x n } converge
vers x 0 , alors f (x n ) > M à partir d’une certaine valeur de l’indice n, ce
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