Solutions
ce qui précède, on sait que 1 est atteint, par exemple en x =
1
2 . Pour montrer
que 0 est aussi atteint, on prend x = 0, a 1 a 2 . . . , où
a i =
1 si i = 2 k , k ∈ N ∗ ,
0 sinon.
On a alors
f (x) = lim
k→+∞
k
2 k = 0.
Pour obtenir la valeur y =
p
q , où p et q sont des entiers strictement positifs
premiers entre eux, on prend
x = 0, 00 . . . 0
q−p
11 . . . 1
p
00 . . . 0
q−p
. . . ,
où des blocs de q − p zéros alternent avec des blocs de p uns. On a alors
f (x) = lim
k→+∞
kp
kq =
p
q . Notre but est maintenant de prouver que tout irrationnel y ∈ [0 , 1] est aussi atteint. On sait (voir, par exemple, I.1.14 (vol. I))
qu’il existe une suite de rationnels
pn
qn convergente vers y, les entiers positifs
p n et q n étant premiers entre eux. On pose
x = 0, 00 . . . 0
q 1 −p 1
11 . . . 1
p 1
00 . . . 0
q 2 −p 2
. . . ,
où q 1 − p 1 zéros sont suivis de p 1 uns, puis q 2 − p 2 zéros sont suivis de p 2 uns,
etc. On a alors
f (x) = lim
n→+∞
p 1 + p 2 + . . . + p n
q 1 + q 2 + . . . + q n
= lim
n→+∞
p n
q n
= y.
Puisque
lim
n→+∞
q n = +∞, la seconde égalité se déduit du résultat de II.3.9 (vol. I) ou du théorème de Stolz (voir, par
exemple, II.3.11 (vol. I)).
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