Chapitre I. Limites et continuité
où 0 = x 1 < x 2 < . . . < x N = 1. Pour 1 j N , on note k j le seul élément
de l’ensemble {0, 1, 2, . . . , 2m} pour lequel f (x j ) = z k j . Les entiers k 1 et k N
sont alors pairs et k j − k j+1 = ±1 pour 1 j N . Il s’ensuit que le nombre
N d’éléments de l’ensemble X est impair. En conséquence, un des ensembles
X k = f −1 (z k ) a un nombre impair d’éléments.
I.3.24. On prouve d’abord que l’ensemble des extrema locaux propres de f
est au plus dénombrable. En effet, si x 0 ∈ ]0 , 1[ et f (x 0 ) est un maximum (resp.
minimum) local propre, il existe alors un intervalle ]p , q[ ⊂ [0 , 1] à extrémités
rationnelles tel que f (x) < f(x 0 ) (resp. f (x) > f(x 0 )) pour tout x ∈ ]p , q[,
x = x 0 . La proposition se déduit alors du fait que l’ensemble des intervalles à
extrémités rationnelles est dénombrable.
Puisque l’ensemble des extrema locaux propres de f est au plus dénombrable, il existe y compris entre f (0) et f (1) qui n’est pas un extremum local
propre de f . On suppose que f (0) < f(1) et f −1 (y) = {x 1 , x 2 , . . . , x n }, où
x 1 < x 2 < . . . < x n . On pose de plus x 0 = 0 et x n+1 = 1. La fonction
x → f (x)−y est soit strictement positive, soit strictement négative, sur chaque
intervalle ]x i , x i+1 [ et de signes opposés dans deux intervalles consécutifs. On
remarque que la fonction est négative dans le premier intervalle et positive dans
le dernier. Le nombre de ces intervalles est donc pair et n est donc impair.
I.3.25. On définit la suite {x n } en posant x n = f n (x 0 ). Si un des termes
de cette suite est un point fixe de f , {x n } est alors constante à partir d’une
certaine valeur de l’indice n donc convergente. Si un des termes de cette suite
est une de ses valeurs d’adhérence, la suite est encore convergente. Il suffit
donc de considérer le cas où aucun des termes de la suite {x n } n’est une de
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où 0 = x 1 < x 2 < . . . < x N = 1. Pour 1 j N , on note k j le seul élément
de l’ensemble {0, 1, 2, . . . , 2m} pour lequel f (x j ) = z k j . Les entiers k 1 et k N
sont alors pairs et k j − k j+1 = ±1 pour 1 j N . Il s’ensuit que le nombre
N d’éléments de l’ensemble X est impair. En conséquence, un des ensembles
X k = f −1 (z k ) a un nombre impair d’éléments.
I.3.24. On prouve d’abord que l’ensemble des extrema locaux propres de f
est au plus dénombrable. En effet, si x 0 ∈ ]0 , 1[ et f (x 0 ) est un maximum (resp.
minimum) local propre, il existe alors un intervalle ]p , q[ ⊂ [0 , 1] à extrémités
rationnelles tel que f (x) < f(x 0 ) (resp. f (x) > f(x 0 )) pour tout x ∈ ]p , q[,
x = x 0 . La proposition se déduit alors du fait que l’ensemble des intervalles à
extrémités rationnelles est dénombrable.
Puisque l’ensemble des extrema locaux propres de f est au plus dénombrable, il existe y compris entre f (0) et f (1) qui n’est pas un extremum local
propre de f . On suppose que f (0) < f(1) et f −1 (y) = {x 1 , x 2 , . . . , x n }, où
x 1 < x 2 < . . . < x n . On pose de plus x 0 = 0 et x n+1 = 1. La fonction
x → f (x)−y est soit strictement positive, soit strictement négative, sur chaque
intervalle ]x i , x i+1 [ et de signes opposés dans deux intervalles consécutifs. On
remarque que la fonction est négative dans le premier intervalle et positive dans
le dernier. Le nombre de ces intervalles est donc pair et n est donc impair.
I.3.25. On définit la suite {x n } en posant x n = f n (x 0 ). Si un des termes
de cette suite est un point fixe de f , {x n } est alors constante à partir d’une
certaine valeur de l’indice n donc convergente. Si un des termes de cette suite
est une de ses valeurs d’adhérence, la suite est encore convergente. Il suffit
donc de considérer le cas où aucun des termes de la suite {x n } n’est une de
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