Solutions
I.3.22. On pose
g(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + 2 si −3 x −1,
−x
si −1 < x 1,
x − 2 si 1 < x 3
et on définit f par
f (x) = g(x − 6n) + 2n pour 6n − 3 x 6n + 3, n ∈ Z.
La fonction f a la propriété cherchée.
Il n’existe pas de fonction continue sur R qui atteigne chacune de ses
valeurs exactement deux fois. Supposons, au contraire, que f soit une telle
fonction. Soit x 1 , x 2 tels que f (x 1 ) = f (x 2 ) = b. Alors f (x) = b pour
x = x 1 , x 2 . Donc, soit f (x) > b pour tout x ∈ ]x 1 , x 2 [, soit f (x) < b pour
tout x ∈ ]x 1 , x 2 [. Dans le premier cas, il existe un unique x 0 ∈ ]x 1 , x 2 [ tel
que f (x 0 ) = max {f (x) : x ∈ [x 1 , x 2 ]}. En effet, si f atteint son maximum sur
[x 1 , x 2 ] en plusieurs points, f prend alors certaines valeurs plus de deux fois sur
[x 1 , x 2 ]. Il existe donc un unique point x
0 (en dehors de l’intervalle [x 1 , x 2 ]) tel
que c = f (x 0 ) = f (x
0 ) > b. La propriété des valeurs intermédiaires appliquée
à f implique alors que toute valeur dans ]b , c[ est atteinte au moins trois fois,
contradiction. Le même raisonnement s’applique aussi au cas où f (x) < b pour
tout x ∈ ]x 1 , x 2 [.
I.3.23. On suppose que f est strictement monotone sur chaque intervalle
[t i−1 , t i ] (i = 1, 2, . . . , n) et que 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1. L’ensemble
Y = {f (t i ) : 0 i n} est formé d’au plus n + 1 éléments y 0 , y 1 , . . . , y m et on
peut supposer que y 0 < y 1 < . . . < y m . On pose z 2i = y i (0 i m) et on
choisit z 1 , z 3 , . . . , z 2m−1 de sorte que z 0 < z 1 < z 2 < z 3 < . . . < z 2m−1 < z 2m .
On pose
X k = {x ∈ [0 , 1] : f (x) = z k } ,
X = X 0 ∪ X 1 ∪ . . . ∪ X 2m = {x 1 , x 2 , . . . , x N } ,
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I.3.22. On pose
g(x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x + 2 si −3 x −1,
−x
si −1 < x 1,
x − 2 si 1 < x 3
et on définit f par
f (x) = g(x − 6n) + 2n pour 6n − 3 x 6n + 3, n ∈ Z.
La fonction f a la propriété cherchée.
Il n’existe pas de fonction continue sur R qui atteigne chacune de ses
valeurs exactement deux fois. Supposons, au contraire, que f soit une telle
fonction. Soit x 1 , x 2 tels que f (x 1 ) = f (x 2 ) = b. Alors f (x) = b pour
x = x 1 , x 2 . Donc, soit f (x) > b pour tout x ∈ ]x 1 , x 2 [, soit f (x) < b pour
tout x ∈ ]x 1 , x 2 [. Dans le premier cas, il existe un unique x 0 ∈ ]x 1 , x 2 [ tel
que f (x 0 ) = max {f (x) : x ∈ [x 1 , x 2 ]}. En effet, si f atteint son maximum sur
[x 1 , x 2 ] en plusieurs points, f prend alors certaines valeurs plus de deux fois sur
[x 1 , x 2 ]. Il existe donc un unique point x
0 (en dehors de l’intervalle [x 1 , x 2 ]) tel
que c = f (x 0 ) = f (x
0 ) > b. La propriété des valeurs intermédiaires appliquée
à f implique alors que toute valeur dans ]b , c[ est atteinte au moins trois fois,
contradiction. Le même raisonnement s’applique aussi au cas où f (x) < b pour
tout x ∈ ]x 1 , x 2 [.
I.3.23. On suppose que f est strictement monotone sur chaque intervalle
[t i−1 , t i ] (i = 1, 2, . . . , n) et que 0 = t 0 < t 1 < . . . < t n = 1. L’ensemble
Y = {f (t i ) : 0 i n} est formé d’au plus n + 1 éléments y 0 , y 1 , . . . , y m et on
peut supposer que y 0 < y 1 < . . . < y m . On pose z 2i = y i (0 i m) et on
choisit z 1 , z 3 , . . . , z 2m−1 de sorte que z 0 < z 1 < z 2 < z 3 < . . . < z 2m−1 < z 2m .
On pose
X k = {x ∈ [0 , 1] : f (x) = z k } ,
X = X 0 ∪ X 1 ∪ . . . ∪ X 2m = {x 1 , x 2 , . . . , x N } ,
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