Solutions
ses valeurs d’adhérence. On a alors
a = lim
n→+∞
x n < b = lim
n→+∞
x n .
Soit x k 0 ∈ ]a , b[. Puisque x k 0 n’est pas une valeur d’adhérence de {x n }, il existe
un intervalle ]c , d[ ⊂ ]a , b[ ne contenant aucun autre terme de cette suite. Il y
a de plus une infinité de termes de la suite dans chacun des intervalles ]−∞ , c[
et ]d , +∞[. Si ]a , b[ ne contient pas de termes de la suite, on peut prendre
c = a et d = b. On définit alors une sous-suite {x n k } de {x n } de sorte que
x n k < c et x n k +1 > d pour k ∈ N ∗ . Si g est une valeur d’adhérence de {x n k },
alors g c et f (g) d. Ceci contredit l’hypothèse selon laquelle toute valeur
d’adhérence de la suite est un point fixe de f .
I.3.26. [6]. D’après le résultat de I.1.42, on sait que lim
n→+∞
f n (0)
n
= α(f )
existe. On montre maintenant qu’il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que f (x 0 ) = x 0 +α(f ).
Si f (x) x + α(f ) + ε pour tout x ∈ [0 , 1] et pour un certain ε > 0, alors, en
particulier, f (0) α(f )+ε. On montre par récurrence que f n (0) n(α(f )+ε)
pour n ∈ N ∗ . En effet, en posant r = f (0) − [f (0)], on obtient
f
2 (0) = f (f (0)) = f ([f (0)] + r) = [f (0)] + f (r)
[f (0)] + r + α(f ) + ε = f (0) + α(f ) + ε
2(α(f ) + ε).
Les mêmes arguments s’appliquent pour prouver que f n (0) n(α(f ) + ε) implique f n+1 (0) (n + 1)(α(f ) + ε). On remarque que si f n (0) n(α(f ) + ε),
alors α(f ) α(f ) + ε, contradiction. On peut prouver de la même manière
que si f (x) x + α(f ) − ε pour tout x ∈ [0 , 1] et pour un certain ε > 0, alors
α(f ) α(f ) − ε, de nouveau une contradiction. Donc, d’après la propriété des
valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que F (x 0 ) = f (x 0 ) − x 0 = α(f ).
En particulier, si α(f ) = 0, x 0 est alors un point fixe de f . D’autre part, si x 0
est un point fixe de f , alors α(f ) = lim
n→+∞
f n (x 0 )
n
= 0.
I.3.27. On pose A = {x ∈ [0 , 1] : f (x) 0}, s = inf A et h = f + g. Puisque
h est décroissante, on a h(s) h(x) g(x) pour x ∈ A. Puisque g est continue,
h(s) g(s) et f (s) 0. Les hypothèses impliquent
g(0) > h(0) h(s) g(s).
D’après la propriété des valeurs intermédiaires appliquée à g, il existe t ∈ ]0 , s]
tel que g(t) = h(s). Mais alors, h(t) h(s) = g(t), ce qui donne f (t) 0. Par
définition de s, on a t = s, ce qui implique g(s) = h(s) ou, de façon équivalente,
f (s) = 0.
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ses valeurs d’adhérence. On a alors
a = lim
n→+∞
x n < b = lim
n→+∞
x n .
Soit x k 0 ∈ ]a , b[. Puisque x k 0 n’est pas une valeur d’adhérence de {x n }, il existe
un intervalle ]c , d[ ⊂ ]a , b[ ne contenant aucun autre terme de cette suite. Il y
a de plus une infinité de termes de la suite dans chacun des intervalles ]−∞ , c[
et ]d , +∞[. Si ]a , b[ ne contient pas de termes de la suite, on peut prendre
c = a et d = b. On définit alors une sous-suite {x n k } de {x n } de sorte que
x n k < c et x n k +1 > d pour k ∈ N ∗ . Si g est une valeur d’adhérence de {x n k },
alors g c et f (g) d. Ceci contredit l’hypothèse selon laquelle toute valeur
d’adhérence de la suite est un point fixe de f .
I.3.26. [6]. D’après le résultat de I.1.42, on sait que lim
n→+∞
f n (0)
n
= α(f )
existe. On montre maintenant qu’il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que f (x 0 ) = x 0 +α(f ).
Si f (x) x + α(f ) + ε pour tout x ∈ [0 , 1] et pour un certain ε > 0, alors, en
particulier, f (0) α(f )+ε. On montre par récurrence que f n (0) n(α(f )+ε)
pour n ∈ N ∗ . En effet, en posant r = f (0) − [f (0)], on obtient
f
2 (0) = f (f (0)) = f ([f (0)] + r) = [f (0)] + f (r)
[f (0)] + r + α(f ) + ε = f (0) + α(f ) + ε
2(α(f ) + ε).
Les mêmes arguments s’appliquent pour prouver que f n (0) n(α(f ) + ε) implique f n+1 (0) (n + 1)(α(f ) + ε). On remarque que si f n (0) n(α(f ) + ε),
alors α(f ) α(f ) + ε, contradiction. On peut prouver de la même manière
que si f (x) x + α(f ) − ε pour tout x ∈ [0 , 1] et pour un certain ε > 0, alors
α(f ) α(f ) − ε, de nouveau une contradiction. Donc, d’après la propriété des
valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que F (x 0 ) = f (x 0 ) − x 0 = α(f ).
En particulier, si α(f ) = 0, x 0 est alors un point fixe de f . D’autre part, si x 0
est un point fixe de f , alors α(f ) = lim
n→+∞
f n (x 0 )
n
= 0.
I.3.27. On pose A = {x ∈ [0 , 1] : f (x) 0}, s = inf A et h = f + g. Puisque
h est décroissante, on a h(s) h(x) g(x) pour x ∈ A. Puisque g est continue,
h(s) g(s) et f (s) 0. Les hypothèses impliquent
g(0) > h(0) h(s) g(s).
D’après la propriété des valeurs intermédiaires appliquée à g, il existe t ∈ ]0 , s]
tel que g(t) = h(s). Mais alors, h(t) h(s) = g(t), ce qui donne f (t) 0. Par
définition de s, on a t = s, ce qui implique g(s) = h(s) ou, de façon équivalente,
f (s) = 0.
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