Solutions
I.3.4. On considère la fonction h(x) = f (x) − g(x) définie sur [a , b] et on
remarque que h(a) < 0 et h(b) > 0. D’après la propriété des valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ [a , b] tel que h(x 0 ) = 0.
I.3.5. On définit la fonction g en posant
g(x) = f
x +
T
2
− f (x).
La fonction g est continue sur R, g(0) = f
T
2
− f (0) et g
T
2
= f (0) − f
T
2
.
Il existe donc x 0 ∈
0 ,
T
2
tel que g(x 0 ) = 0.
I.3.6. On pose
m = min {f (x 1 ), . . . , f(x n )} et M = max {f (x 1 ), . . . , f(x n )} .
On a alors
m
1
n
(f (x 1 ) + . . . + f (x n )) M.
Il existe donc x 0 ∈ ]a , b[ tel que
f (x 0 ) =
1
n
(f (x 1 ) + . . . + f (x n )) .
I.3.7.
(a) On pose f (x) = (1− x) cos x− sin x. On a f (0) = 1 et f (1) = − sin 1 < 0.
Il existe donc x 0 ∈ ]0 , 1[ tel que f (x 0 ) = 0.
(b) On sait que (voir I.1.12)
lim
x→+∞
e
−x
|P (x)| = 0 et
lim
x→−∞
e
−x
|P (x)| = +∞.
Il existe donc x 0 ∈ R tel que e −x 0 |P (x 0 )| = 1.
I.3.8. On observe que
sgn P (−a l ) = (−1)
l
et sgn P (−b l ) = (−1)
l+1 , l = 0, 1, . . . , n.
D’après la propriété des valeurs intermédiaires, le polynôme P a donc une
racine dans chaque intervalle ]−b l , −a l [, l = 0, 1, . . . , n.
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