Chapitre I. Limites et continuité
On note que si ]a i , b i [ (i ∈ N ∗ ) est la suite des intervalles enlevés, alors
C = [0 , 1] \
+∞
i=1
]a i , b i [ .
On définit la fonction g en posant
g(x) =
0
si x ∈ C,
2(x−a i )
b i −a i
− 1 si x ∈ ]a i , b i [, i ∈ N ∗ .
La construction de l’ensemble de Cantor implique que chaque intervalle [a , b] ⊂
[0 , 1] contient un sous-intervalle ouvert disjoint de C. En effet, si ]a , b[ ne
contient pas de point de C, alors ]a , b[ est un des intervalles enlevés ]a i , b i [ ou
un sous-intervalle d’un de ceux-ci. Si x ∈ ]a , b[ ∩ C, il existe alors n ∈ N ∗ et
k ∈ {0, 1, 2, . . . , 3 n − 1} tels que x ∈
k
3 n ,
k+1
3 n
⊂ ]a , b[. Le second tiers ouvert
de
k
3 n ,
k+1
3 n
, qui est en fait un des intervalles ]a i , b i [, est un sous-intervalle
ouvert ne contenant pas de point de C.
La fonction g est discontinue en tout point x ∈ C et il découle de ce qui
précède que g vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
I.3.2. Soit x 0 ∈ ]a , b[. La monotonie de f implique
sup
ax f (x) = f (x
−
0 ) f (x 0 ) f (x
+
0 ) inf
x 0 f (x)
(voir I.1.35). On suppose maintenant que
f (x 0 ) < f(x
+
0 ).
Il existe alors une suite strictement décroissante {x n }, x n ∈ ]x 0 , b], convergente
vers x 0 telle que lim
n→+∞
f (x n ) = f (x
+
0 ). Puisque f est strictement croissante,
f (x n ) > f(x
+
0 ) > f(x 0 ). D’après la propriété des valeurs intermédiaires, il
existe x ∈ ]x 0 , x n [ tel que f (x ) = f (x
+
0 ). On a alors
inf
x 0 f (x) inf
x 0 f (x) = f (x
).
D’autre part, la stricte monotonie de f donne inf
x 0 f (x) < f(x ), contradiction. On a donc montré que f (x 0 ) = f (x
+
0 ). Les égalités f (x 0 ) = f (x
−
0 ),
f (a) = f (a + ) et f (b) = f (b − ) se prouvent de la même façon.
I.3.3. La fonction g définie par g(x) = f (x) − x, x ∈ [0 , 1], est continue,
g(0) = f (0) 0 et g(1) = f (1) − 1 0. Puisque g vérifie la propriété des
valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ [0 , 1] tel que g(x 0 ) = 0.
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