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I.3. Propriété des valeurs intermédiaires
I.3.1. Soit f la fonction définie sur [a , b] par
f (x) =
sin
1
x−a si < a < x b,
0
si x = a.
Clairement, f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur [a , b] mais est
discontinue en a.
On construit maintenant une fonction vérifiant la propriété des valeurs
intermédiaires et ayant une infinité de points de discontinuité. On note C
l’ensemble de Cantor . On rappelle que l’ensemble de Cantor est défini de la
façon suivante. On divise l’intervalle [0 , 1] en trois parties égales, on enlève
l’intervalle
1
3 ,
2
3
et on note E 1 l’union des intervalles
0 ,
1
3
et
2
3 , 1
. À la seconde étape, on enlève l’ouvert formant le second tiers de chacun des intervalles
restants et on pose
E 2 =
0 ,
1
9
∪
2
9
,
3
9
∪
6
9
,
7
9
∪
8
9
, 1
.
En procédant comme précédemment, on enlève à la n-ième étape l’union des
ouverts formant le second tiers de chacun des 2 n−1 intervalles restants et on
note E n l’union des 2 n intervalles fermés, tous de longueur 3 −n . On pose
C =
+∞
n=1
E n .
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