Chapitre I. Limites et continuité
I.2.33. Soit f une fonction convexe sur ]a , b[ et a < s < u < v < t < b.
L’interprétation géométrique de la convexité indique que le point (u, f (u)) se
trouve sous la corde passant par les points (s, f (s)) et (v, f (v)). Ceci signifie
que
f (u) f (s) +
f (v) − f (s)
v − s
(u − s) .
(1)
De même, le point (v, f (v)) se trouve sous la corde passant par les points
(u, f (u)) et (t, f (t)), ce qui donne
f (v) f (u) +
f (t) − f (u)
t − u
(v − u) .
(2)
Les inégalités (1) et (2) donnent
f (s) +
f (u) − f (s)
u − s
(v − s) f (v) f (u) +
f (t) − f (u)
t − u
(v − u) .
D’après le théorème des gendarmes, si {v n } est une suite convergente
vers u par valeurs supérieures, alors lim
n→+∞
f (v n ) = f (u), ce qui implique
lim
x→u +
f (x) = f (u). De même, lim
x→u −
f (x) = f (u). La continuité de f en tout
point de ]a , b[ est donc prouvée.
L’exemple suivant montre que la proposition est fausse si l’intervalle n’est
pas ouvert :
f (x) =
x 2 si x ∈ [0 , 1[,
2
si x = 1.
I.2.34. La convergence uniforme de {f n } implique que, étant donné ε > 0, il
existe n 0 tel que
|f n (x) − f (x)| <
1
3
ε pour n n 0 , x ∈ A.
On fixe a ∈ A. Par continuité de f n 0 en a, il existe δ > 0 tel que
|f n 0 (x) − f n 0 (a)| <
1
3
ε pour |x − a| < δ.
Donc,
|f (x) − f (a)| |f n 0 (x) − f (x)| + |f n 0 (x) − f n 0 (a)| + |f n 0 (a) − f (a)| < ε.
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