Chapitre I. Limites et continuité
I.3.9. Non. Considérez, par exemple, f et g définies par
f (x) =
sin
1
x−a
si a < x b,
0
si x = a
et
g(x) =
− sin
1
x−a
si a < x b,
1
si x = a.
I.3.10. On pose
g(x) = f (x + 1) − f (x), x ∈ [0 , 1].
On a alors g(1) = f (2) − f (1) = −g(0). Il existe donc x 0 ∈ [0 , 1] tel que
f (x 0 + 1) = f (x 0 ). On peut alors prendre x 2 = x 0 + 1 et x 1 = x 0 .
I.3.11. Considérez la fonction
g(x) = f (x + 1) − f (x) −
1
2
(f (2) − f (0)) , x ∈ [0 , 1],
et appliquez un raisonnement semblable à celui utilisé dans la solution du
problème précédent.
I.3.12. On définit la fonction g par
g(x) = f (x + 1) − f (x), x ∈ [0 , n − 1].
Si g(0) = 0, alors f (1) = f (0). On suppose donc, par exemple, que g(0) > 0
et on a f (1) > f(0). Si on a aussi f (k + 1) > f(k) pour k = 1, 2, . . . , n − 1, on
aura alors
f (0) < f(1) < f(2) < . . . < f(n) = f (0),
contradiction. Il s’ensuit qu’il existe k 0 tel que g(k 0 ) > 0 et g(k 0 + 1) 0.
Puisque g est continue, il existe x 0 ∈ ]k 0 , k 0 + 1] tel que g(x 0 ) = 0, d’où
f (x 0 + 1) = f (x 0 ). Le même raisonnement s’applique lorsque g(0) < 0.
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