Chapitre I. Limites et continuité
D’après l’hypothèse lim
x→+∞
(f (x) − g(x)) = 0, il existe k ∈ N ∗ tel que
|f (x) − g(x)| < ε
si x x 0 + kT 2 .
En conséquence, pour tout m ∈ N ∗ ,
|f (x 0 + kmT 2 ) − g(x 0 + kmT 2 )| < ε.
(3)
D’après (2), (3) et la périodicité de f et g, on a
|f (x 0 ) − g(x 0 )|
= |f (x 0 ) − f (x 0 + kmT 2 ) + f (x 0 + kmT 2 ) − g(x 0 + kmT 2 )|
|f (x 0 ) − f (x 0 + kmT 2 )| + |f (x 0 + kmT 2 ) − g(x 0 + kmT 2 )|
(4)
= |f (x 0 ) − f (x 0 + kmT 2 − nT 1 )| + |f (x 0 + kmT 2 ) − g(x 0 + kmT 2 )|
< ε + ε = 2ε
dès que
|mkT 2 − nT 1 | < δ.
(5)
Cependant, puisque 2ε < M, (4) contredirait (1) s’il existait m ∈ N ∗ et n ∈ Z
vérifiant (5). D’autre part, si
T 1
T 2
est rationnel, (5) est évidemment vérifiée pour
certains entiers m et n. Si
T 1
T 2
est irrationnel, alors (5) est aussi vérifiée (voir,
par exemple, I.1.14 (vol. I)).
I.2.26.
(a) On considère f (x) = sin x et g(x) = x − [x] pour x ∈ R. Les fonctions
f et g sont périodiques de période fondamentale respective 2π et 1. Aucune période de f n’est commensurable avec une période de g. On pose
h = f + g. Si h est périodique de période T , on a alors
sin T + T − [T ] = 0 et sin(−T ) − T − [−T ] = 0.
Donc, (T − [T ]) + (−T − [−T ]) = 0, ce qui implique T − [T ] = 0. Ceci
signifie que T est un entier, en contradiction avec sin T = 0.
(b) [A. D. Kudria˘ sov, A. S. Me˘ seriakov, Mathematics in School, 6 (1969), 19-21
(russe)]. Soit α, β et γ des réels tels que l’égalité aα + bβ + cγ = 0,
a, b, c ∈ Q, soit vérifiée si et seulement si a = b = c = 0. De tels nombres
existent. On peut prendre par exemple α = 1, β =
√
2 et γ =
√
3. On
définit
W = {aα + bβ + cγ : a, b, c ∈ Q} .
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