Solutions
On considère les fonctions f et g définies par
f (x) =
−b − c − b 2 − c 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W,
g(x) =
a + c + a 2 − c 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W,
On note que tout nombre de la forme rα, r ∈ Q ∗ , est une période de
f et tout nombre de la forme sβ, s ∈ Q ∗ , est une période de g. On
prouve que ces fonctions n’ont pas d’autre période. Si T est une période de f , alors f (β + T ) = f (β) et, puisque f (β) = −2, on obtient
β + T ∈ W et T ∈ W. D’où, T = rα + sβ + tγ pour certains r, s, t ∈ Q.
Puisque f (T ) = f (0), on a −s − t − s 2 − t 2 = 0 ou, de façon équivalente,
(s+t)(1+s−t) = 0. On montre que 1−s+t = 0. En effet, si 1−s+t = 0,
alors T = rα + sβ + (1 + s)γ. En utilisant
f (x + T ) = f (x)
(∗)
avec x = −γ, on obtient −s − s − s 2 + s 2 = 1 + 1 ou s = −1. Donc,
T = rα − β. En prenant alors x = β dans (∗), on a f (rα) = f (β), d’où
0 = −1 − 1, contradiction. On a donc prouvé que 1 − s + t = 0 et il
s’ensuit que s + t = 0. En conséquence, T = rα + sβ − sγ. Notre but est
maintenant de montrer que s = 0. On prend pour cela x = γ dans (∗)
pour obtenir
−s + s − 1 − s
2 + (s − 1)
2 = −1 + 1,
ce qui implique s = 0. De la même manière, on montre que les seules
périodes de g sont celles mentionnées précédemment. Aucune période de
f n’est donc commensurable avec une période de g. On remarque alors
que h = f + g est donnée par
h(x) =
a − b + a 2 − b 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W.
Comme précédemment, on peut prouver que les seules périodes de h sont
les nombres de la forme tγ, t ∈ Q ∗ .
I.2.27. On suppose que h = f + g est périodique de période T . Puisque
T 1
T 2
/
∈ Q, on voit que
T
T 1
/
∈ Q ou
T
T 2
/
∈ Q. On suppose, par exemple,
que
T
T 1
/
∈ Q. Par périodicité de h, on obtient f (x + T ) + g(x + T ) =
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On considère les fonctions f et g définies par
f (x) =
−b − c − b 2 − c 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W,
g(x) =
a + c + a 2 − c 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W,
On note que tout nombre de la forme rα, r ∈ Q ∗ , est une période de
f et tout nombre de la forme sβ, s ∈ Q ∗ , est une période de g. On
prouve que ces fonctions n’ont pas d’autre période. Si T est une période de f , alors f (β + T ) = f (β) et, puisque f (β) = −2, on obtient
β + T ∈ W et T ∈ W. D’où, T = rα + sβ + tγ pour certains r, s, t ∈ Q.
Puisque f (T ) = f (0), on a −s − t − s 2 − t 2 = 0 ou, de façon équivalente,
(s+t)(1+s−t) = 0. On montre que 1−s+t = 0. En effet, si 1−s+t = 0,
alors T = rα + sβ + (1 + s)γ. En utilisant
f (x + T ) = f (x)
(∗)
avec x = −γ, on obtient −s − s − s 2 + s 2 = 1 + 1 ou s = −1. Donc,
T = rα − β. En prenant alors x = β dans (∗), on a f (rα) = f (β), d’où
0 = −1 − 1, contradiction. On a donc prouvé que 1 − s + t = 0 et il
s’ensuit que s + t = 0. En conséquence, T = rα + sβ − sγ. Notre but est
maintenant de montrer que s = 0. On prend pour cela x = γ dans (∗)
pour obtenir
−s + s − 1 − s
2 + (s − 1)
2 = −1 + 1,
ce qui implique s = 0. De la même manière, on montre que les seules
périodes de g sont celles mentionnées précédemment. Aucune période de
f n’est donc commensurable avec une période de g. On remarque alors
que h = f + g est donnée par
h(x) =
a − b + a 2 − b 2 si x = aα + bβ + cγ ∈ W,
0
si x /
∈ W.
Comme précédemment, on peut prouver que les seules périodes de h sont
les nombres de la forme tγ, t ∈ Q ∗ .
I.2.27. On suppose que h = f + g est périodique de période T . Puisque
T 1
T 2
/
∈ Q, on voit que
T
T 1
/
∈ Q ou
T
T 2
/
∈ Q. On suppose, par exemple,
que
T
T 1
/
∈ Q. Par périodicité de h, on obtient f (x + T ) + g(x + T ) =
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