Solutions
(b) La fonction de Dirichlet définie par
f (x) =
1 si x ∈ Q,
0 si x ∈ R \ Q,
est périodique. Tout rationnel est une période et cette fonction n’a donc
pas de période fondamentale.
(c) On suppose que l’ensemble des périodes de f n’est pas dense dans R. Il
existe alors un intervalle ]a , b[ ne contenant aucune période de f . Comme
en (a), on peut montrer qu’il existe une période T et un entier k tels que
kT ∈ ]a , b[, contradiction.
I.2.24.
(a) Soit x 0 ∈ R un point où f est continue. Puisque f n’est pas constante,
il existe x 1 = x 0 tel que f (x 1 ) = f (x 0 ). Si f n’admet pas de période
minimale strictement positive, il existe alors une suite {T n }, de périodes
strictement positives de f convergente vers 0. On prend
0 < ε < |f (x 1 ) − f (x 0 )| .
Par continuité de f en x 0 , il existe δ > 0 tel que
|f (x) − f (x 0 )| < ε pour |x − x 0 | < δ.
(∗)
Puisque lim
n→+∞
T n = 0, il existe n 0 tel que 0 < T n 0 <
δ
2 . Au
moins un des réels kT n 0 , k ∈ Z, appartient alors à l’intervalle
]x 0 − x 1 − δ , x 0 − x 1 + δ[. Donc, x 1 + kT n 0 ∈ ]x 0 − δ , x 0 + δ[ et, d’après
(∗), on a
|f (x 1 ) − f (x 0 )| = |f (x 1 + kT n 0 ) − f (x 0 )| < ε,
contradiction.
(b) Il s’agit d’une conséquence immédiate de (a).
I.2.25. Soit T 1 et T 2 des périodes strictement positives respectivement de f
et g. On suppose que f = g. Il existe alors x 0 tel que f (x 0 ) = g(x 0 ) ou, dit
autrement,
|f (x 0 ) − g(x 0 )| = M > 0.
(1)
Pour 0 < ε <
M
2 , il existe δ > 0 tel que
|f (x 0 + h) − f (x 0 )| < ε dès que |h| < δ.
(2)
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