Chapitre I. Limites et continuité
I.2.22. On sait que l’ensemble
m + n
T 1
T 2
: m, n ∈ Z
est dense dans R (voir,
par exemple, I.1.15 (vol. I)). Donc, étant donné x ∈ R, il existe une suite
m k + n k
T 1
T 2
convergente vers
x
T 2
. Par périodicité et continuité de f , on obtient
f (0) = lim
k→+∞
f (m k T 2 + n k T 1 ) = f (x).
Soit T 1 et T 2 deux nombres incommensurables. On pose
W = {x ∈ R : x = rT 1 + sT 2 , s, t ∈ Q} .
On définit f par
f (x) =
1 pour x ∈ W,
0 pour x ∈ R \ W.
T 1 et T 2 sont alors des périodes de f .
I.2.23.
(a) On note T n (n ∈ N) les périodes de f , avec lim
n→+∞
T n = 0. Par continuité
de f , étant donné x 0 ∈ R et ε > 0, il existe δ > 0 tel que
|f (x) − f (x 0 )| < ε pour |x − x 0 | < δ.
Puisque lim
n→+∞
T n = 0, il existe n 0 tel que 0 < T n 0 <
δ
2 . Au moins un des
réels kT n 0 , k ∈ Z, appartient à l’intervalle ]x 0 − δ , x 0 + δ[. Donc,
|f (x 0 ) − f (0)| = |f (x 0 ) − f (kT n 0 )| < ε
et, ε > 0 et x 0 ∈ R pouvant être choisis arbitrairement, il s’ensuit que f
est constante, contrairement aux hypothèses.
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