Solutions
On remarque que l’égalité est vérifiée dans (∗) si la première borne inférieure
est atteinte en un point de [a, x 0 ]. On suppose donc que x h ∈ [x 0 , x 0 + h] et
m(x 0 + h) =
inf
ζ∈[a,x 0 +h]
f (ζ) = f (x h ).
On a alors, pour |h| < δ,
m(x 0 + h) − m(x 0 ) = f (x h ) − inf
ζ∈[a,x 0 ]
f (ζ) f (x h ) − f (x 0 ) > −ε
car |x h − x 0 | |h| < δ. On a donc prouvé que m est continue en tout
x 0 ∈ [a , b]. On peut appliquer le même argument pour prouver que M est
continue sur [a , b].
I.2.15. Puisque f est bornée, les fonctions m et M sont bien définies et bornées. De plus, m est décroissante sur ]a , b] et M est croissante sur [a , b[. Pour
x 0 ∈ ]a , b[, d’après I.1.35, on a
lim
x→x
−
0
m(x) = inf
ζ∈]a,x 0 [
m(ζ) m(x 0 ).
Si inf
ζ∈]a,x 0 [
m(ζ) > m(x 0 ), il existe alors d > 0 tel que
inf
ζ∈]a,x 0 [
m(ζ) = m(x 0 ) + d.
Donc, pour tout ζ ∈ ]a , x 0 [,
m(ζ) = inf
ax<ζ
f (x) m(x 0 ) + d
et, en conséquence, f (x) m(x 0 ) + d pour tout x ∈ [a , x 0 [, contradiction.
On a donc prouvé que lim
x→x
−
0
m(x) = m(x 0 ). On peut prouver la continuité à
gauche de M de la même manière.
I.2.16. Non. Considérez la fonction suivante :
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2 si x ∈ [0 , 1[,
1 si x ∈ [1 , 2[,
3 si x ∈ [2 , 3].
La fonction m n’est pas continue à gauche en x 0 = 1 et la fonction M n’est
pas continue à gauche en x 1 = 2.
I.2.17. On pose lim
x→+∞
f (x) = l. Étant donné ε > 0, il existe M > 0 tel que
|f (x) − l| < ε pour x > M. Donc, si x > M, alors l − ε < f(x) < l + ε.
Évidemment, puisque f est continue, elle est bornée sur [a , M].
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