Chapitre I. Limites et continuité
On suppose maintenant que f est continue en x 0 . Étant donné ε > 0, il
existe alors δ 0 > 0 tel que |x − x 0 | < δ 0 implique |f (x) − f (x 0 )| <
ε
2 . Donc,
d’après (∗), si 0 < δ < δ 0 , alors
ω f (x 0 , δ) ω f (x 0 , δ 0 ) < ε
et lim
δ→0 +
ω f (x 0 , δ) = 0.
I.2.13.
(a) Soit x 0 ∈ [a , b] et ε > 0. Par continuité de f et g, il existe δ > 0 tel que
f (x 0 ) − ε < f(x) < f(x 0 ) + ε et g(x 0 ) − ε < g(x) < g(x 0 ) + ε
si x ∈ [a , b] et |x − x 0 | < δ. Donc,
h(x) < min {f (x 0 ) + ε, g(x 0 ) + ε}
(1)
= min {f (x 0 ), g(x 0 )} + ε = h(x 0 ) + ε
et
f (x) > f(x 0 ) − ε > h(x 0 ) − ε et g(x) > g(x 0 ) − ε > h(x 0 ) − ε.
D’où,
h(x) > h(x 0 ) − ε.
(2)
La continuité de h en x 0 se déduit de (1) et (2). On prouve de la même
façon que H est continue sur [a , b].
(b) Comme en (a), on peut prouver que max {f 1 , f 2 , f 3 } et min {f 1 , f 2 , f 3 }
sont continues sur [a , b]. La continuité de f se déduit de
f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) − max {f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x)}
− min {f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x)} .
I.2.14. Puisque f est continue, les fonctions m et M sont bien définies. Soit
x 0 ∈ [a , b] et ε > 0. Par continuité de f , il existe δ > 0 tel que
sup
|h|<δ
|f (x 0 + h) − f (x 0 )| < ε.
La définition de m implique
m(x 0 + h) − m(x 0 ) =
inf
ζ∈[a,x 0 +h]
f (ζ) − inf
ζ∈[a,x 0 ]
f (ζ) 0.
(∗)
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