Solutions
Si P (x 0 ) M , on peut alors poser x = x 0 . Si P (x 0 ) > M, on prend b > 0 tel
que P (x) > P (x 0 ) dès que |x| > b. Par continuité de P , il existe x ∈ [−b , b]
tel que P (x ) = inf
x∈[−b,b]
P (x).
Pour prouver la seconde proposition, on remarque que
lim
x→+∞
|P (x)| = lim
x→−∞
|P (x)| = +∞
et on procède comme précédemment.
I.2.11.
(a) Considérez
f (x) =
2x − 1 si x ∈ ]0 , 1[,
0
si x = 0 ou x = 1.
(b) Pour n ∈ N ∗ , on pose
A n =
0,
1
2 n ,
2
2 n ,
3
2 n , . . . ,
2 n − 1
2 n
et B 1 = A 1 , B n = A n \
n−1
k=1
A k = A n \ A n−1 . Clairement,
+∞
k=1
A k =
+∞
k=1
B k .
On définit f comme suit :
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0
si x ∈ [0 , 1] \
+∞
k=1
A k ,
1
2 n − 1 si x ∈ B n , n ∈ N ∗ .
Pour tout a et b, 0 a < b 1, inf
x∈[a,b]
f (x) = −1 et f n’atteint pas la
valeur −1 sur [a , b].
I.2.12. On observe d’abord que
ω f (x 0 , δ 1 ) ω f (x 0 , δ 2 ) pour 0 < δ 1 < δ 2 .
(∗)
On suppose que lim
δ→0 +
ω f (x 0 , δ) = 0. Étant donné ε > 0, il existe alors δ 0 > 0 tel
que ω f (x 0 , δ) < ε si δ < δ 0 . Donc, si |x − x 0 | < δ < δ 0 , alors |f (x) − f (x 0 )| < ε,
ce qui prouve la continuité de f en x 0 .
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