Chapitre I. Limites et continuité
I.2.18. On suppose que lim
n→+∞
x n = a. Par continuité de f , pour tout ε > 0,
il existe δ > 0 tel que
|f (x) − f (a)| < ε pour |x − a| < δ.
(∗)
La définition de la limite inférieure implique qu’il existe une suite {x n k } telle
que |x n k − a| < δ à partir d’une certaine valeur k 0 de l’indice k. Avec (∗), on
obtient alors |f (x n k ) − f (a)| < ε pour k > k 0 . On a donc prouvé que
lim
n→+∞
f (x n ) f
lim
n→+∞
x n
.
On montre maintenant sur un exemple que cette inégalité peut être stricte.
On prend f (x) = −x (x ∈ R) et x n = (−1)
n (n ∈ N ∗ ). On a alors
−1 = lim
n→+∞
f (x n ) < f
lim
n→+∞
x n
= 1.
De façon complètement semblable, on prouve que
lim
n→+∞
f (x n ) f
lim
n→+∞
x n
et le même exemple que précédemment montre que cette inégalité peut aussi
être stricte.
I.2.19.
(a) On a prouvé dans la solution du problème précédent que les inégalités
lim
n→+∞
f (x n ) f
lim
n→+∞
x n
et
lim
n→+∞
f (x n ) f
lim
n→+∞
x n
sont vérifiées pour toute suite bornée {x n } et pour toute fonction continue f . On pose lim
n→+∞
x n = a. Il existe alors une suite {x n k } telle que
f (x n k ) f (a) + ε
(∗)
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