Chapitre I. Limites et continuité
I.2.5. Pour que f soit continue sur R, il faut et il suffit que
lim
x→2n −
f (x) = lim
x→2n +
f (x) et
lim
x→(2n−1)
−
f (x) =
lim
x→(2n−1)
+
f (x)
pour tout n ∈ Z. Ceci donne
b n + 1 = a n et a n−1 = b n − 1.
On trouve donc, par récurrence, a n = 2n + a 0 et b n = 2n − 1 + a 0 , a 0 ∈ R.
I.2.6. Puisque la fonction est impaire, on n’étudie sa continuité que sur R + .
Clairement, f est continue en tout point x =
√
n, n ∈ N ∗ . On suppose maintenant que n = k 2 , k ∈ N ∗ . On a alors
lim
x→k +
f (x) = n lim
x→k +
sin πx = 0
et
lim
x→k −
f (x) = (n − 1) lim
x→k −
sin πx = 0.
La fonction est donc continue pour tout n = k 2 . Si n ∈ N n’est pas un carré,
alors
lim
x→
√
n
+
f (x) = n lim
x→
√
n
+
sin πx = n sin
π
√
n
et
lim
x→
√
n
−
f (x) = (n − 1) sin
π
√
n
.
On conclut donc que f est discontinue en tout x = ±
√
n où n = k 2 .
I.2.7. On obtient
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
si x ∈
1
2 , 1
,
n + (x − n)
n si x ∈ [n , n + 1[, n ∈ N ∗ .
La fonction est donc continue en tout x = n (n ∈ N ∗ ). De plus,
lim
x→n +
f (x) = lim
x→n −
f (x) = n = f (n).
La fonction f est donc continue sur
1
2 , +∞
.
On prouve maintenant que f est strictement croissante sur [1 , +∞[.
Clairement, f est strictement croissante sur chaque intervalle [n , n + 1[. Si
x 1 ∈ [n − 1 , n[ et x 2 ∈ [n , n + 1[, alors
f (x 2 ) − f (x 1 ) = (x 2 − n)
n + 1 − (x 1 − n + 1)
n−1 > (x 2 − n)
n
0.
Il s’ensuit que f (x 2 ) − f (x 1 ) > 0 pour x 2 ∈ [m , m + 1[ et x 1 ∈ [n , n + 1[ si
m > n + 1.
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