Solutions
suite d’irrationnels convergente vers x, alors lim
n→+∞
f (z n ) = 0 = f (x).
Ceci signifie que f est continue en tout irrationnel. On peut montrer que
f est continue en 0. On suppose maintenant que x = 0 et x =
p
q , où p et q
sont premiers entre eux. Si {x n } est une suite d’irrationnels convergente
vers x, alors lim
n→+∞
f (x n ) = 0 = f (x). La fonction f est donc discontinue
en tout rationnel différent de 0.
(b) Soit x ∈ R \ Q et {z n } une suite d’irrationnels convergente vers x, z n = x
pour tout n ∈ N ∗ . On a lim
n→+∞
f (z n ) = lim
n→+∞
|z n | = |x|. Si {x n } est une
suite de rationnels convergente vers x, d’après la remarque au début de
la solution de (a),
lim
n→+∞
f (x n ) = lim
n→+∞
x n q n
q n + 1
= x.
Ceci signifie que f est continue en tout irrationnel positif et discontinue
en tout irrationnel négatif. On montre de même que f est continue en 0.
On considère maintenant x =
p
q = 0 (p et q étant premiers entre eux).
Alors,
x n =
p
q
×
(np + 1)q + 1
(np + 1)q
converge vers
p
q et on note que le numérateur et le dénominateur de x n
sont premiers entre eux. Donc,
lim
n→+∞
f (x n ) = lim
n→+∞
(np + 1)pq + p
(np + 1)q 2 + 1
=
p
q
=
p
q + 1
.
La fonction est donc discontinue en tout rationnel différent de 0.
I.2.4. Soit f ∈ C [a,b] et x 0 un point de [a , b]. Étant donné ε > 0, il existe
δ > 0 tel que |f (x) − f (x 0 )| < ε si x ∈ [a , b] et 0 < |x − x 0 | < δ. La continuité
de |f | se déduit alors de l’inégalité évidente ||f (x)| − |f (x 0 )|| |f (x) − f (x 0 )|.
La fonction définie par
f (x) =
⎧
⎨
⎩
1
si x ∈ Q ∩ [a , b],
−1 si x ∈ [a , b] \ Q,
est discontinue en tout point de [a , b] bien que |f | soit constante et donc continue sur [a , b].
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