Chapitre I. Limites et continuité
ce qui implique
kp
n
+
q(f (0) − 1)
n
f n (0)
n
kp
n
+
k + q
n
(1 + f (0)) .
(3)
Puisque lim
n→+∞
k
n =
1
mp et lim
n→+∞
q
n = 0, l’inégalité cherchée est donc une conséquence de (3).
I.1.42. [6, page 47]. On note que d’après I.1.40, il suffit de prouver que
lim
n→+∞
f n (0)
n existe. Si f (0) = 0, la limite est alors égale à 0. On suppose maintenant que f (0) > 0. Alors soit il existe un entier m tel que f m (0) > p pour tout
p ∈ N ∗ , soit il existe un entier p strictement positif tel que f m (0) p pour tout
m ∈ N ∗ . Dans le second cas, la suite {f n (0)} est bornée et lim
n→+∞
f n (0)
n
= 0.
Dans le premier cas, lim
p→+∞
m p = +∞, m p étant défini comme en I.1.41. Un
passage à la limite lorsque p tend vers +∞ dans les inégalités données en I.1.41
montre que lim
p→+∞
p
mp existe et lim
n→+∞
f n (0)
n
existe aussi.
Dans le cas où f (0) < 0, on peut montrer une inégalité semblable à (2)
dans la solution du problème précédent et procéder de façon analogue.
I.2. Propriétés des fonctions continues
I.2.1. La fonction est discontinue en tout point x 0 = kπ, k ∈ Z. En effet, si
{x n } est une suite d’irrationnels convergente vers x 0 , alors lim
n→+∞
f (x n ) = 0.
D’autre part, si {z n } est une suite de rationnels convergente vers x 0 , alors par
continuité de la fonction sinus, lim
n→+∞
f (z n ) = lim
n→+∞
sin |z n | = sin |x 0 | | = 0. On
peut prouver de même que f est continue en kπ, k ∈ Z.
I.2.2. Comme dans la solution du problème précédent, on peut prouver que
f n’est continue qu’en −1 et 1.
I.2.3.
(a) On observe d’abord que si {x n } converge vers x avec x n =
pn
qn , p n ∈ Z
et q n ∈ N ∗ étant premiers entre eux et x n = x pour tout n ∈ N ∗ , alors
lim
n→+∞
q n = +∞. Donc, si x est irrationnel et {x n } définie comme précédemment, alors lim
n→+∞
f (x n ) = lim
n→+∞
1
qn = 0 = f (x). Si {z n } est une
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ce qui implique
kp
n
+
q(f (0) − 1)
n
f n (0)
n
kp
n
+
k + q
n
(1 + f (0)) .
(3)
Puisque lim
n→+∞
k
n =
1
mp et lim
n→+∞
q
n = 0, l’inégalité cherchée est donc une conséquence de (3).
I.1.42. [6, page 47]. On note que d’après I.1.40, il suffit de prouver que
lim
n→+∞
f n (0)
n existe. Si f (0) = 0, la limite est alors égale à 0. On suppose maintenant que f (0) > 0. Alors soit il existe un entier m tel que f m (0) > p pour tout
p ∈ N ∗ , soit il existe un entier p strictement positif tel que f m (0) p pour tout
m ∈ N ∗ . Dans le second cas, la suite {f n (0)} est bornée et lim
n→+∞
f n (0)
n
= 0.
Dans le premier cas, lim
p→+∞
m p = +∞, m p étant défini comme en I.1.41. Un
passage à la limite lorsque p tend vers +∞ dans les inégalités données en I.1.41
montre que lim
p→+∞
p
mp existe et lim
n→+∞
f n (0)
n
existe aussi.
Dans le cas où f (0) < 0, on peut montrer une inégalité semblable à (2)
dans la solution du problème précédent et procéder de façon analogue.
I.2. Propriétés des fonctions continues
I.2.1. La fonction est discontinue en tout point x 0 = kπ, k ∈ Z. En effet, si
{x n } est une suite d’irrationnels convergente vers x 0 , alors lim
n→+∞
f (x n ) = 0.
D’autre part, si {z n } est une suite de rationnels convergente vers x 0 , alors par
continuité de la fonction sinus, lim
n→+∞
f (z n ) = lim
n→+∞
sin |z n | = sin |x 0 | | = 0. On
peut prouver de même que f est continue en kπ, k ∈ Z.
I.2.2. Comme dans la solution du problème précédent, on peut prouver que
f n’est continue qu’en −1 et 1.
I.2.3.
(a) On observe d’abord que si {x n } converge vers x avec x n =
pn
qn , p n ∈ Z
et q n ∈ N ∗ étant premiers entre eux et x n = x pour tout n ∈ N ∗ , alors
lim
n→+∞
q n = +∞. Donc, si x est irrationnel et {x n } définie comme précédemment, alors lim
n→+∞
f (x n ) = lim
n→+∞
1
qn = 0 = f (x). Si {z n } est une
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