Solutions
(c) On suppose que f est croissante. Puisque f (x) f (x 0 ) pour x x 0 ,
f (x
+
0 ) = inf
x>x 0
f (x) f (x 0 ). De même, on peut prouver que f (x
−
0 ) =
sup
x f (x) f (x 0 ).
I.1.36.
(a) La solution du problème précédent implique
f (t) f (x
− ) f (x)
pour a < x 0 < t < x.
Si x tend vers x
+
0 , alors t tend vers x
+
0 , d’où
f (x
+
0 ) = lim
t→x
+
0
f (t) lim
x→x
+
0
f (x
− )
et
lim
x→x
+
0
f (x
− ) f (x
+
0 ) = lim
x→x
+
0
f (x).
En conséquence, lim
x→x
+
0
f (x − ) = f (x
+
0 ).
(b) Ceci s’obtient par le même raisonnement qu’en (a).
I.1.37. La nécessité de la condition se déduit immédiatement de la définition
de la limite. En effet, si lim
x→a
f (x) = l, étant donné ε > 0, il existe alors δ > 0
tel que |f (x) − l| <
ε
2 si 0 < |x − a| < δ. Donc,
f (x) − f (x
)
|f (x) − l| +
f (x
) − l
< ε.
On prouve maintenant que la condition est suffisante. Supposons qu’elle est
vérifiée et que f n’admet pas de limite en a. On considère une suite {x n } telle
que lim
n→+∞
x n = a, x n = a et {f (x n )} ne converge pas. La suite {f (x n )} n’est
donc pas une suite de Cauchy. D’autre part, puisque lim
n→+∞
x n = a, il existe
n 0 tel que 0 < |x n − a| < δ et 0 < |x k − a| < δ si n, k n 0 . Les hypothèses
impliquent |f (x n ) − f (x k )| < ε, contradiction.
De la même façon, on peut prouver que, pour que la limite lim
x→+∞
f (x)
existe, il faut et il suffit que pour tout ε > 0, il existe M > 0 tel que x, x > M
implique |f (x) − f (x )| < ε.
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