Chapitre I. Limites et continuité
Donc, n <
1
x < n + 1 et
1
x
= n. En conséquence,
x
1
x
−
1
x
= x
1
x
− n
= 1 −
1 − s
n
n = s.
Finalement, si 0 < s <
1
n+1 , alors |f (s)| =
f
x
1
x −
1
x
< ε. On peut
procéder de la même façon pour s < 0.
I.1.35.
(a) On suppose que f est croissante sur ]a , b[. Si {x n } est une suite décroissante convergente vers x 0 , alors {f (x n )} est aussi décroissante
et minorée par f (x 0 ). Donc, lim
n→+∞
f (x n ) = inf
n∈N ∗
f (x n ) (voir, par
exemple, II.1.1 (vol. I)). Clairement,
inf
n∈N ∗
f (x n ) inf
x>x 0
f (x).
De plus, étant donné x > x 0 , il existe n tel que x n < x, d’où
f (x n ) f (x). Donc,
inf
n∈N ∗
f (x n ) inf
x>x 0
f (x).
On a prouvé de cette façon que
lim
n→+∞
f (x n ) = inf
x>x 0
f (x)
si {x n } décroît vers x 0 . On suppose maintenant que {x n } est une suite
convergente vers x 0 telle que x n > x 0 . La suite x n contient alors (voir,
par exemple, II.4.29 (vol. I)) une sous-suite décroissante x n k et, de ce
qui précède,
lim
k→+∞
f (x n k ) = inf
x>x 0
f (x).
Si la suite {x n } contient une sous-suite {z n k } telle que
lim
k→+∞
f (z n k ) = inf
x>x 0
f (x),
on peut alors aussi en extraire une sous-suite monotone ne convergeant
pas vers inf
x>x 0
f (x), contradiction. Ceci implique
lim
x→x
+
0
f (x) = inf
x>x 0
f (x).
On remarquera ici qu’il suffit de considérer des suites monotones pour
déterminer une limite à gauche ou à droite.
Le même raisonnement s’applique aux autres égalités de (a) et (b).
48