Solutions
I.1.30. En utilisant la notation introduite dans la solution du problème I.1.28, on montre que
lim
n→+∞
M n+1 − M n
n k
= lim
n→+∞
m n+1 − m n
n k
= l.
Le théorème de Stolz (voir, par exemple, II.3.11 (vol. I)) donne alors
lim
n→+∞
M n
n k+1 =
1
k + 1
lim
n→+∞
M n+1 − M n
n k
et
lim
n→+∞
m n
n k+1 =
1
k + 1
lim
n→+∞
m n+1 − m n
n k
.
Il suffit d’appliquer le même raisonnement que dans la solution des deux problèmes précédents pour prouver la proposition.
I.1.31. On pose lim
x→+∞
f (x+1)
f (x) = l et on note que la fonction x → ln(f (x)) vérifie les hypothèses du problème I.1.28. On obtient donc lim
x→+∞
ln(f (x))
x
= ln l.
D’où
lim
x→+∞
(f (x))
1
x = e
ln l = l.
I.1.32. Non. Considérez la fonction définie par
f (x) =
0 si x =
1
n , n ∈ N ∗ ,
1 sinon.
I.1.33. Non. On considère la fonction définie comme suit :
f (x) =
1 si x =
1
n
n
√
2
, n ∈ N ∗ ,
0 sinon
et on procède comme dans la solution du problème I.1.25.
I.1.34. Étant donné ε > 0, il existe δ (0 < δ < 1) tel que
f
x
1
x
−
1
x
< ε
si 0 < |x| < δ. On prend alors n ∈ N ∗ suffisamment grand pour que
1
n < δ.
Pour 0 < s <
1
n+1 , on pose x =
1−s
n . On a
1
n + 1
=
1 −
1
n+1
n
<
1 − s
n
= x <
1
n
.
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