Chapitre I. Limites et continuité
On en déduit que lim
n→+∞
(M n+1 − M n ) = l car on peut choisir arbitrairement
ε > 0. On prouve de la même façon que lim
n→+∞
(m n+1 − m n ) = l. Le théorème
de Stolz (voir, par exemple, II.3.11 (vol. I)) implique alors
lim
n→+∞
M n
n
= lim
n→+∞
m n
n + 1
= l.
Donc, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que pour n > n 0 , on a
−ε <
m n
n + 1
− l < ε et − ε <
M n
n
− l < ε.
(∗)
Il s’ensuit que f (x) > 0 pour x suffisamment grand si l > 0. Donc, si n x = [x],
alors
m nx
n x + 1
f (x)
x
M nx
n x
.
On voit alors avec (∗) que pour x > n 0 + 1,
−ε <
m nx
n x + 1
− l
f (x)
x
− l
M nx
n x
− l < ε.
Pour l < 0, on peut montrer que
m nx
n x
f (x)
x
M nx
n x + 1
et procéder de même. De cette façon, la proposition est démontrée pour
l = 0. Pour prouver que la proposition est aussi vérifiée pour l = 0, on pose
M n = sup
x∈[n,n+1[
|f (x)|. Comme ci-dessus, on peut trouver une suite {x n } telle
que
|f (x n + 1)| − |f (x n )| − ε < M n+1 − M n < |f (x n+1 )| − |f (x n+1 − 1)| + ε
et prouver que lim
n→+∞
Mn
n = 0. Puisque
f (x)
x
Mn
n pour x ∈ [n, n + 1[, on
obtient lim
x→+∞
f (x)
x = 0.
I.1.29. Pour n [a] + 1, on pose m n =
inf
x∈[n,n+1[
f (x). Par définition de
la borne inférieure, étant donné ε > 0, il existe une suite {x n } telle que
x n ∈ [n , n + 1[ et m n f (x n ) < m n + ε. On a alors
f (x n+1 ) − f (x n+1 − 1) < m n+1 − m n + ε.
Ceci implique lim
n→+∞
(m n+1 − m n ) = +∞. D’après le théorème de Stolz (voir,
par exemple, II.3.11 (vol. I)), lim
n→+∞
mn
n = +∞. Si x ∈ [n , n + 1[, alors
f (x)
x
mn
n+1 , ce qui donne lim
x→+∞
f (x)
x = +∞.
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