Solutions
I.1.26. Non. On considère la fonction définie au problème précédent. Pour
voir qu’elle vérifie les hypothèses du problème, on suppose que a et b sont
strictement positifs et qu’il existe n, m, k, l ∈ N ∗ , n = k, m = l, tels que
a + bn = m
m
√
2 et a + bk = l
l
√
2. On a alors
a =
nl
l
√
2 − km
m
√
2
n − k
, b =
m
m
√
2 − l
l
√
2
n − k
.
(∗)
S’il existe p, q ∈ N ∗ tels que p = n, p = k, q = m, q = l et a + bp = q
q
√
2, les
relations (∗) impliquent
m(p − k)
m
√
2 + l(n − p)
l
√
2 = q(n − k)
q
√
2,
contradiction.
I.1.27. Soit ε > 0. Par hypothèse, il existe δ > 0 tel que
f (x) − f
x
2
|x|
< ε pour 0 < |x| < δ.
Donc, pour 0 < |x| < δ,
f (x)
x
= lim
n→+∞
f (x) − f
x
2 n+1
x
lim
n→+∞
n+1
k=1
1
2 k−1
f
x
2 k−1
− f
x
2 k
1
2 k−1 |x|
lim
n→+∞
n+1
k=1
1
2 k−1 ε = 2ε.
I.1.28. On pose lim
x→+∞
(f (x + 1) − f (x)) = l,
M n = sup
x∈[n,n+1[
f (x) et m n = inf
x∈[n,n+1[
f (x).
Les suites {M n } et {m n } sont bien définies pour n [a] + 1. Par définition des
bornes supérieures et inférieures, étant donné ε > 0, il existe une suite {x n }
telle que x n ∈ [n , n + 1[ et f (x n ) > M n − ε. On a
f (x n + 1) − f (x n ) − ε < M n+1 − M n < f(x n+1 ) − f (x n+1 − 1) + ε
et
l − ε lim
n→+∞
(M n+1 − M n ) lim
n→+∞
(M n+1 − M n ) l + ε.
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