Chapitre I. Limites et continuité
I.1.23.
(a) On applique le résultat de I.1.21 en prenant
g(x) = x, α = 1/2 et f (x) = 2 sin
√
x +
√
x sin
1
x
et on utilise l’égalité lim
x→0 +
x ln
√ x = 0 (voir I.1.13). La limite cherchée
est égale à 1.
(b) On pose
f (x) = 1 + xe
−
1
x 2 sin
1
x 4 et g(x) = e
1
x 2
et on remarque que lim
x→0
g(x)(f (x) − 1) = 0. Donc, d’après I.1.22, la
limite cherchée est égale à 1.
(c) Comme en (b), on peut montrer que la limite cherchée est égale à e
π
2 .
I.1.24. Non. Pour α > 0 et irrationnel, on considère la fonction définie par
f (x) =
1 si x = nα, n ∈ N ∗ ,
0 sinon.
Cette fonction vérifie les hypothèses. En effet, si a 0 et a + k = nα pour certains k et n ∈ N ∗ , il n’existe alors pas d’autres k , n ∈ N ∗ tels que a+ k = n α.
Si ce n’était pas le cas, on aurait k − k = (n − n )α, contradiction. Clairement,
lim
x→+∞
f (x) n’existe pas.
I.1.25. Non. On considère la fonction définie par
f (x) =
1 si x = n
n
√
2, n ∈ N ∗ ,
0 sinon.
La limite lim
x→+∞
f (x) n’existe pas bien que la fonction vérifie les hypothèses du
problème. En fait, si a > 0 et si on a ak = n
n
√
2, pour certains k et n ∈ N ∗ ,
alors ces k et n sont uniques. S’il existe k , n tels que ak = n n
√
2, on a alors
k
k =
n
n 2
n −n
nn ,
contradiction.
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