Solutions
D’après I.1.16 et I.1.18(d),
lim
x→+∞
ln(x − 1)
ln x
= lim
x→+∞
ln (x − 1)
1
ln x = lim
y→+∞
ln (e
y
− 1)
1
y = 1.
Donc,
lim
x→+∞
ln
1
cos 2 πx
2x+1
− 1
x
= lim
x→+∞
ln
1
cos 2 πx
2x+1
x
(2)
= lim
x→+∞
−2 ln cos
πx
2x+1
x
.
Puis, d’après I.1.18(e),
lim
x→+∞
−2 ln cos
πx
2x+1
x
= lim
x→+∞
−2 ln sin
π
2(2x+1)
x
= lim
x→+∞
2 ln
2(2x+1)
π
x
.
La dernière limite est égale à 0 (voir I.1.13). Ceci, combiné à (1) et (2),
implique que la limite cherchée est égale à 1.
(b) On a
lim
x→+∞
x
ln
1 +
x
2
− ln
x
2
= lim
x→+∞
ln
1 +
2
x
1
x
= lim
y→0
ln(1 + y)
1
2 y
= 2,
la dernière égalité étant une conséquence de I.1.17(a).
I.1.21. On pose b(x) =
f (x)
x α . On a
lim
x→0 +
g(x) ln f (x) = lim
x→0 +
(αg(x) ln x + g(x) ln b(x))
= lim
x→0 +
αg(x) ln x = γ.
I.1.22. D’après I.1.17(a), on a
lim
x→0
g(x) ln f (x) = lim
x→0
g(x)
ln(f (x) − 1 + 1)
f (x) − 1
(f (x) − 1) = γ.
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