Chapitre I. Limites et continuité
(e) On a lim
x→0 +
(sin x)
1
ln x = e a , où
a = lim
x→0 +
ln sin x
ln x
= lim
x→0 +
ln
sin x
x + ln x
ln x
= 1,
la dernière égalité se déduisant de la continuité de la fonction logarithme
(voir I.1.16).
I.1.19.
(a) On a
lim
x→0
sin 2x + 2 Arctan 3x + 3x 2
ln
1 + 3x + sin
2 x
+ xe x = lim
x→0
sin 2x+2 Arc tan 3x+3x 2
x
ln(1+3x+sin 2 x)
x
+ e x
= 2
car, d’après I.1.17(a), lim
x→0
ln(1+3x+sin 2 x)
x
= 3.
(b) D’après I.1.17(a), on a
lim
x→0
2 ln cos x
−x 2 = lim
x→0
ln
1 − sin
2 x
−x 2
= 1.
Donc, lim
x→0
ln cos x
tan x 2 = −
1
2 .
(c) On a
lim
x→0 +
√
1 − e −x −
√
1 − cos x
√
sin x
= lim
x→0 +
√
1−e −x −
√
1−cos x
√
x
sin x
x
= 1.
(d) On a lim
x→0
1 + x 2 cotan x = e a , où
a = lim
x→0
ln
1 + x 2
tan x
= lim
x→0
x 2
x
= 0
car, d’après I.1.17(a), lim
x→0
ln(1+x 2 )
x 2
= 1.
I.1.20.
(a) On observe d’abord que
2 ln tan
πx
2x+1
x
=
ln
1
cos 2 πx
2x+1
− 1
x
.
(1)
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