Solutions
On pose y = a x − 1. On a alors
lim
x→0
a x − 1
x
= lim
y→0
y
log a (y + 1)
=
1
log a e
= ln a.
(c) On pose y = (1 + x)
α
− 1. Clairement, x tend vers 0 si et seulement si y
tend aussi vers 0. De plus,
(1 + x)
α
− 1
x
=
y
ln(1 + y)
·
ln(1 + y)
x
=
y
ln(1 + y)
·
α ln(1 + x)
x
.
Ceci et (a) donnent lim
x→0
(1+x)
α −1
x
= α.
I.1.18.
(a) On pose y = (lnx)
1
x . On a alors ln y =
ln(ln x)
ln x
×
ln x
x . Donc,
d’après I.1.13 et avec la continuité de la fonction exponentielle, on obtient lim
x→+∞
(ln x)
1
x = 1.
(b) On pose y = x sin x . On a ln y =
sin x
x x ln x. D’après I.1.13,
lim
x→0 +
x ln x = lim
t→+∞
− ln t
t
= 0.
De nouveau, avec la continuité de la fonction exponentielle, on obtient
lim
x→0 +
x sin x = 1.
(c) On voit, en posant y = (cos x)
1
sin 2 x , que
ln y =
ln(cos x)
cos x − 1
·
cos x − 1
sin
2 x
.
On a alors, d’après I.1.17(a), lim
x→0
(cos x)
1
sin 2 x = e
−
1
2 .
(d) Pour x suffisamment grand, on a
e
2
1
x
(e
x
− 1)
1
x e.
Puisque lim
x→+∞
2
1
x = 1 (voir I.1.14), la limite cherchée est égale à e.
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