Chapitre I. Limites et continuité
(b) On a
lim
x→−∞
1 +
1
x
x
= lim
y→+∞
1 −
1
y
−y
= lim
y→+∞
1 +
1
y − 1
y−1
1 +
1
y − 1
.
L’égalité demandée se déduit donc de (a).
(c) En utilisant (a) et (b), on obtient lim
x→0 +
(1 + x)
1
x = lim
y→+∞
1 +
1
y
y
= e
et lim
x→0 −
(1 + x)
1
x = lim
y→−∞
1 +
1
y
y
= e.
I.1.16. On sait que (voir, par exemple, II.1.38 (vol. I)) 0 < ln
1 +
1
n
<
1
n
pour n ∈ N ∗ . De plus, étant donné ε > 0, il existe n 0 tel que
1
n 0 −1 < ε. Donc,
si |x| <
1
n 0
, alors
−ε < −
1
n 0 − 1
< ln
1 −
1
n 0
< ln(1 + x) < ln
1 +
1
n 0
<
1
n 0
< ε.
D’où, lim
x→0
ln(1 + x) = 0. Pour prouver la continuité de la fonction logarithme,
on prend x 0 ∈ R ∗
+ . On a alors
lim
x→x 0
ln x = lim
x→x 0
ln x 0 + ln
x
x 0
= ln x 0 + lim
y→1
ln y
= ln x 0 + lim
t→0
ln(1 + t) = ln x 0 .
I.1.17.
(a) D’après le résultat de I.1.15(c) et la continuité de la fonction logarithme
(voir I.1.16), on a
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln (1 + x)
1
x = ln e = 1.
(b) On note d’abord que la continuité de la fonction logarithme de base a
(a > 0, a = 1) se déduit de celle de la fonction logarithme naturel et de
l’égalité log a x =
ln x
ln a . Donc, d’après (a),
lim
x→0
log a (1 + x)
x
= log a e.
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