Solutions
(b) Clairement, lim
x→+∞
a x
x α = +∞ pour α 0. Dans le cas où α > 0, on a
a x
x α =
a
x
α
x
α
=
b x
x
α
,
où b = a
1
α > 1. D’après (a), lim
x→+∞
b x
x = +∞. Donc,
lim
x→+∞
a x
x α = lim
x→+∞
b x
x
α
= +∞
pour tout α > 0.
I.1.13. Le problème précédent implique lim
y→+∞
αy
e αy = 0. La substitution
y = ln x donne lim
x→+∞
ln x
x α = 0.
I.1.14. On sait que lim
n→+∞
a
1
n = lim
n→+∞
a
−
1
n = 1. On suppose d’abord que
a > 1. Soit ε > 0. Il existe un entier n 0 tel que n > n 0 implique
1 − ε < a
−
1
n < a
x < a
1
n < 1 + ε pour |x| <
1
n
.
Donc, lim
x→0
a x = 1 pour a > 1. Si 0 < a < 1, on déduit de ce qui précède que
lim
x→0
a
x = lim
x→0
1
(1/a)
x = 1.
Le cas a = 1 est évident. Pour prouver la continuité de la fonction x → a x , on
choisit arbitrairement x 0 ∈ R. On a alors
lim
x→x 0
a
x = lim
x→x 0
a
x 0 a
x−x 0 = a
x 0 lim
y→0
a
y = a
x 0 .
I.1.15.
(a) Puisque (voir, par exemple, II.1.38 (vol. I)) lim
n→+∞
1 +
1
n
n = e, étant
donné ε > 0, il existe n 0 tel que si x > n 0 + 1 et si n = [x], alors
e − ε <
1 +
1
n + 1
n
<
1 +
1
x
x
<
1 +
1
n
n+1
< e + ε.
39