Chapitre I. Limites et continuité
I.1.9.
(a) Considérez par exemple f : R −→ R définie par
f (x) =
(−1)
n si x =
1
2 2 n , n ∈ N ∗ ,
0
sinon.
(b) Si f (x) |x|
α et f (x)f (2x) |x|, alors
|x|
α
f (x)
|x|
f (2x)
|x|
|2x|
α .
Puisque
1
2 < α < 1, on voit que lim
x→0
f (x) = 0.
I.1.10. On a
g(a)
a α = lim
x→+∞
f (ax)
a α x α = lim
t→+∞
f (t)
t α = g(1).
I.1.11. On déduit de lim
x→+∞
f (2x)
f (x) = 1 que pour tout n ∈ N ∗ , on a
lim
x→+∞
f (2 n x)
f (x)
= lim
x→+∞
f (2 n x)
f (2 n−1 x)
f
2 n−1 x
f (2 n−2 x)
· · ·
f (2x)
f (x)
= 1.
Supposons que f soit croissante et c 1. Clairement, il existe n ∈ N tel que
2 n c < 2 n+1 . La monotonie de f implique donc f (2 n x) f (cx) f
2 n+1 x
,
ce qui donne
lim
x→+∞
f (cx)
f (x)
= 1 pour c 1.
De ce qui précède, si 0 < c < 1, alors
lim
x→+∞
f (cx)
f (x)
= lim
t→+∞
f (t)
f
t
c
= 1.
I.1.12.
(a) On remarque d’abord que lim
x→+∞
a x = +∞ si a > 1. En effet, étant
donné M > 0, a x > M si et seulement si x >
ln M
ln a . Pour voir que
lim
x→+∞
a n
n+1 = +∞, on écrit
a n
n+1 =
(1+(a−1))
n
n+1
et on observe que, d’après
la formule du binôme, on a (1 + (a − 1))
n >
n(n−1)
2
(a − 1)
2 . Donc, étant
donné N , il existe n 0 tel que
a n
n+1 > N pour n > n 0 . Pour x > n 0 + 1, on
pose n = [x]. On a alors
a x
x >
a n
n+1 > N, ce qui donne lim
x→+∞
a x
x = +∞.
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