Chapitre I. Limites et continuité
I.1.38. Soit {x n }, x n = a, une suite convergente vers a. La définition de
la limite d’une fonction en a implique lim
n→+∞
f (x n ) = A. On pose y n =
f (x n ). Puisque f (x) = A dans un voisinage épointé de a, f (x n ) = A pour
n suffisamment grand. Donc, lim
n→+∞
g(y n ) = B ou, de façon équivalente,
lim
n→+∞
g(f (x n )) = B. Ceci signifie que lim
x→a
g(f (x)) = B.
I.1.39. Considérez les fonctions f et g définies par
f (x) =
0
si x =
1
n , n ∈ N ∗ ,
sin x sinon,
g(y) =
0
si y = 0,
sin y
y
sinon.
On a alors
g(f (x)) =
0
si x =
1
n , n ∈ N ∗ , ou x = kπ, k ∈ Z,
sin(sin x)
sin x
sinon
et lim
x→0
f (x) = 0, lim
y→0
g(y) = 1, mais lim
x→0
g(f (x)) n’existe pas.
I.1.40. La périodicité de x → f (x) − x implique f (x + 1) = f (x) + 1. Donc,
pour tout entier n, f (x + n) = f (x) + n, x ∈ R. Puisque l’on peut écrire
tout réel x comme la somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire
(x = [x] + r, où 0 r < 1), on a
f (x) = f (r) + [x] .
(∗)
La monotonie de f donne
f (0) f (r) f (1) = f (0) + 1 pour 0 r < 1.
On montre par récurrence que
f
n (0) f
n (r) f
n (0) + 1 pour 0 r < 1 et n ∈ N
∗ .
Donc,
f n (0)
n
f n (r)
n
f n (0)
n
+
1
n
.
Ces inégalités prouvent la proposition dans le cas où 0 x < 1. De plus,
d’après (∗), f n (x) = f n (r) + [x], ce qui implique que la proposition est vérifiée
pour tout x ∈ R.
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