Solutions
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I.1. Limite d’une fonction
I.1.1.
(a) Puisque
x cos
1
x
|x|, la limite est égale à 0.
(b) Pour x > 0, 1 − x < x
1
x
1 et pour x < 0, 1 x
1
x
< 1 − x. Donc,
lim
x→0
x
1
x
= 1.
(c) Comme en (b), on peut prouver que la limite est égale à
b
a .
(d) La limite n’existe pas car les limites à gauche et à droite sont différentes.
(e) La limite est égale à
1
2 (comparez avec la solution de III.2.1(a) (vol. I)).
(f) On a
lim
x→0
cos
π
2 cos x
sin(sin x)
= lim
x→0
sin
π
2 (1 + cos x)
sin(sin x)
= lim
x→0
sin
π cos 2 x
2
sin(sin x)
= lim
x→0
sin
π sin
2 x
2
sin(sin x)
= lim
x→0
π
sin
x
2
2 cos
x
2
×
2 sin
x
2 cos
x
2
sin
2 sin
x
2 cos
x
2
×
sin
π sin
2 x
2
π sin
2 x
2
= 0.
I.1.2.
(a) On suppose que lim
x→0
f (x) = l. Étant donné ε > 0, il existe 0 < δ <
π
2 tel
que
|f (y) − l| < ε si 0 < |y| < δ.
(1)
On note aussi que 0 < |y| = |sin x| < |x| < δ si 0 < |x| < δ. Donc
d’après (1), |f (sin x) − l| < ε, ce qui donne lim
x→0
f (sin x) = l.
On suppose maintenant que lim
x→0
f (sin x) = l. Étant donné ε > 0, il existe
0 < δ <
π
2 tel que
|f (sin x) − l| < ε si 0 < |x| < δ.
(2)
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