Chapitre I. Limites et continuité
Si maintenant 0 < |y| < sin δ, alors 0 < |x| = |Arcsin y| < δ et,
d’après (2), on a |f (y) − l| = |f (sin x) − l| < ε. Ceci signifie que
lim
x→0
f (x) = l.
(b) L’implication se déduit immédiatement de la définition de la limite. Pour
prouver que l’autre implication est fausse, on remarque par exemple que
lim
x→0
[|x|] = 0 mais lim
x→0
[x] = 0 n’existe pas.
I.1.3. Clairement, f (x) +
1
f (x) 2. Donc, par hypothèse, étant donné ε > 0,
il existe δ > 0 tel que
0 f (x) +
1
f (x)
− 2 < ε pour 0 < |x| < δ.
Cette condition peut s’écrire de façon équivalente
0 (f (x) − 1) +
1
f (x)
− 1
< ε
(1)
ou
0 (f (x) − 1)
1 −
1
f (x)
< ε.
(2)
En élevant au carré chacun des membres de (1) et (2), on obtient
(f (x) − 1)
2 +
1
f (x)
− 1
2
ε
2 + 2ε.
En conséquence, (f (x) − 1)
2
ε 2 + 2ε.
I.1.4. On suppose que lim
x→a
f (x) existe et est égale à l. D’après les hypothèses, on a l +
1
|l| = 0 ce qui implique l = −1. On montre alors que
lim
x→a
f (x) = −1. Pour cela, on observe qu’il existe δ > 0 tel que f (x) < 0
pour x ∈ ]a − δ , a + δ[ \ {a}. En effet, si dans tout voisinage épointé de a
existe un x 0 tel que f (x 0 ) > 0, on a alors f (x 0 ) +
1
f (x 0 ) 2, en contradiction
avec les hypothèses. Puisque f (x) < 0, on a l’inégalité suivante :
|f (x) + 1|
f (x) +
1
|f (x)|
.
36