Chapitre I. Limites et continuité
(b) Toute suite {x n } d’éléments de X telle que
lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0
contient une sous-suite convergente.
I.7.28. Prouver qu’un espace métrique X est compact si et seulement si toute
fonction à valeurs réelles continue sur X est uniformément continue et si l’ensemble
{x ∈ X : ρ(x) > ε}, où ρ est définie en I.7.27, est fini pour tout ε > 0.
I.7.29. Donner un exemple d’espace métrique X non compact tel que toute
fonction continue f : X −→ R est uniformément continue sur X.
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(b) Toute suite {x n } d’éléments de X telle que
lim
n→+∞
ρ(x n ) = 0
contient une sous-suite convergente.
I.7.28. Prouver qu’un espace métrique X est compact si et seulement si toute
fonction à valeurs réelles continue sur X est uniformément continue et si l’ensemble
{x ∈ X : ρ(x) > ε}, où ρ est définie en I.7.27, est fini pour tout ε > 0.
I.7.29. Donner un exemple d’espace métrique X non compact tel que toute
fonction continue f : X −→ R est uniformément continue sur X.
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