Énoncés
I.7.21. Prouver que si X est un espace métrique complet et si f appartient à la
première classe de Baire de X, alors l’ensemble des points de continuité de f est
dense dans X.
I.7.22. Soit f : R ∗
+ −→ R une fonction continue telle que pour tout x strictement positif, la suite
f
x
n
converge vers 0. A-t-on lim
x→0 +
f (x) = 0 ? (Comparer
avec I.1.33.)
I.7.23. Soit F une famille de fonctions à valeurs réelles continues sur un espace
métrique complet X telles que, pour tout x ∈ X, il existe M x vérifiant
|f (x)| M x pour tout f ∈ F.
Prouver qu’il existe une constante strictement positive M et un ensemble ouvert
non vide G ⊂ X tels que
|f (x)| M pour tout f ∈ F et tout x ∈ G.
I.7.24. Soit F 1 ⊃ F 2 ⊃ F 3 ⊃ . . . une collection d’ensembles fermés, emboîtés
et non vides dans un espace métrique complet X tels que lim
n→+∞
diam F n = 0.
Prouver que si f est continue sur X, alors
f
+∞
n=1
F n
=
+∞
n=1
f (F n ).
I.7.25. Soit (X, d 1 ) un espace métrique et p un point de X. Pour u ∈ X, on
définit la fonction f u par f u (x) = d 1 (u, x) − d 1 (p, x), pour x ∈ X. Prouver que
u → f u est une application conservant les distances, autrement dit, une isométrie
de (X, d 1 ) dans l’espace C (X, R) des fonctions continues sur X à valeurs réelles
muni de la distance d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ X}.
I.7.26. Prouver qu’un espace métrique X est compact si et seulement si toute
fonction continue f : X −→ R est bornée.
I.7.27. Soit (X, d 1 ) un espace métrique. On définit ρ(x) = dist (x, X \ {x}) pour
x ∈ X. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes.
(a) Toute fonction continue f : X −→ R est uniformément continue.
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